Приклади нелiнiйних коливань

В багатьох механiчних системах рух описується нелiнiйними диференцiальними рiвняннями. Поява в рiвняннях нелiнiйних членiв зумовлена наявнiстю сили пружностi або сили опору, що змiнюються за нелiнiйним законом.

Нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння розв’язують наближено. В цьому випадку кажуть, що проводять лiнеаризацiю нелiнiйних диференцiальних рiвнянь. Замiна точних нелiнiйних диференцiальних рiвнянь наближеними диференцiальними рiвняннями впливає не тiльки на кiлькiснi результати, але й спотворює якiсну сторону розглядуваних явищ. Наприклад, у випадку лiнiйних коливань частота коливань не залежить вiд початкових умов. У випадку ж нелiнiйних коливань частота залежить вiд початкових умов.

До цього часу відсутні загальнi методи iнтегрування нелiнiйних диференцiальних рiвнянь. Але за останнi роки були розробленi наближенi i графiчнi методи.

В першому наближеннi вважають, що модуль сили пружностi змiнюється за законом Гука, тобто за лiнiйним законом в залежностi вiд змiщення Δ x (штрихована пряма на рис. 6.1).

Це приводить задачу до лiнiйного диференцiального рiвняння вiльних коливань:

+k ² x = 0.

Разом з тим бiльш точно закон Гука записується так:

F_x =- c ₁ x- c ₃ x ³ -c ₅ x ⁵, (6.1)

тобто, тут сила зростає швидше, нiж за лiнiйним законом; ця характеристика сили називається ”жорсткою”. Така характеристика спостерiгається у гуми (крива 1-1 рис. 6.1).

Iнакше закон Гука записується так:

F_x =- c ₁ x + c ₃ x ³ + c ₅ x ⁵, (6.2)

тобто, тут сила зростає повiльнiше, нiж за лiнiйним законом; ця характеристика називається ”м’якою”. Вона спостерiгається, наприклад, в чавунi (крива 2-2 рис. 6. 1).

У випадку ”жорсткої” характеристики пружної сили

+ k ² x+gx ³ +px ⁵ +... = 0,

(g = с ₁ /m> 0), (6.3)

+k ² x- gx ³ - px ⁵ -... = 0,

(g = с ₁ /m> 0), (6.4)

тобто в загальному випадку

+f (x) = 0, (6.5)

де f (х) - деяка нелiнiйна функцiя х.

Прикладом нелiнiйних коливань є також маятник, диференцiальне рiвняння коливань якого має вигляд

+k ²sin φ = 0.

Розглядаємо

sin φ = φ- (φ ³ / 1·2·3) + (φ ⁵ / 5!) +…;

+k ² φ- (k ² / 6) φ ³ + (k ² / 120) φ ⁵ = 0.

В деяких випадках характеристика сили пружностi є лiнiйною на окремих дiлянках. Прикладом може бути тягар А мiж двома пружинами, який не прикрiплений до їх кiнцiв. В цьому випадку характеристика сили пружностi складається з двох прямолiнiйних вiдрiзкiв (рис. 6.2).

Розглянемо приклади нелiнiйних коливань систем з одним ступенем вiльностi.

Рис. 6. 2.