Метод поетапного iнтегрування

Розглянемо цей метод на такому прикладi.

Приклад. На рис. 6.2, a показано тягар А, який може рухатись пiд дiєю двох пружин в прямолiнiйних направляючих. Пружини до тягаря не прикрiпленi. Коефiцiєнти жорсткостi пружин вiдповiдно дорiвнюють с ₁ i c ₂. В початковий момент часу тягар знаходився в крайньому правому положеннi i був вiдпущений без початкової швидкостi.

В положеннi рiвноваги пружини не напруженi.

Знайти рiвняння руху тягаря i перiод його вiльних коливань за умови, що сили пружностi пружин описуються законом Гука.

Розв’язання. В положеннi рiвноваги пружини не напруженi i до тягаря не прикрiпленi. При русi тягаря направо вiд нуля до нього прикладена сила пружностi правої пружини, а при русi налiво вiд нуля - лiвої пружини. Характеристика сили пружностi складається з двох прямолiнiйних вiдрiзкiв (рис. 6.2, б).

Перiод коливань складається з чотирьох етапiв:

1) пiд дiєю правої пружини з крайнього правого положення в нульове;

2) пiд дiєю лiвої пружини з нульового положення в крайнє лiве;

3) пiд дiєю лiвої пружини з крайнього лiвого положення в нульове;

4) пiд дiєю правої пружини з нульового в крайнє праве положення.

Розглянемо рух тягаря на першому етапi з крайнього правого положення в нульове. Рух описується диференцiальним рiвнянням

m = - c ₁ х,

тобто

+k ₁² x = 0, (6.6)

де

k ₁² = c ₁ /m.

Загальний розв’язок лiнiйного рiвняння (6.6) має вигляд:

х = C ₁cos(k ₁ t) +C ₂sin(k ₁ t). (6.7)

Знаходимо похiдну за часом:

=- C ₁ k ₁sin(k ₁ t) + C ₂ k ₁cos(k ₁ t). (6.8)

Згiдно початкових умов при t ₀ = 0 x = x ₀; = 0. Пiдставляємо їх в рiвняння (6.7) i (6.8), знаходимо C ₁ = x ₀, C ₂ = 0.

Значить

x = x ₀cos(k ₁ t); (6.9)

= - x ₀ k ₁sin(k ₁ t).

Рух тягаря на цьому етапi вiдбувається протягом часу

0 ≤t τ ₁,

де τ ₁ - момент часу, коли тягар приходить в нульове положення. При цьому

0 = x ₀cos(k ₁ τ ₁);

(τ ₁) = - k ₁ x ₀sin(k ₁ τ ₁). (6.10)

З першого з цих рiвнянь знаходимо

k ₁ τ ₁ = π/ 2,

τ ₁ = (π/ 2)/ k ₁. (6.11)

Отже початковими умовами для другого етапу є

х = х (τ ₁) = 0;

= (τ ₁) = - k ₁ x ₀. (6.12)

Рух на цьому етапi описується диференцiальним рiвнянням

m = - c ₂ х,

тобто

+k ₂² x = 0, (6.13)

де позначено k ₂² = c ₂ /m.

Загальний розв’язок рiвняння (6.13) має вигляд:

x = C ₃cos(k ₂ t) + C ₄sin(k ₂ t). (6.14)

Знаходимо похiдну за часом

=- C ₃ k ₂sin(k ₂ t) + C ₄ k ₂cos(k ₂ t). (6.15)

Пiдставимо в (6.14) i (6.15) початковi умови (6.12) i знайдемо C ₃ = 0, C ₄ = - (k ₁ /k ₂) x ₀. В цьому разi рiвняння (6.14) записується так:

x = - (k ₁ /k ₂) x ₀sin(k ₂ t). (6.16)

Рiвняння (6.16) описує рух на другому етапi пiд дiєю лiвої частини пружини з нульового положення в крайнє лiве. Цей рух здiйснюється на протязi часу 0 ≤t τ ₂.

На другому етапi швидкiсть тягаря дорiвнює

При t = τ ₂ маємо

х = х (τ ₂); = (τ ₂) = 0

i

x (τ ₂) = - (k ₁ /k ₂) x ₀sin(k ₂ τ ₂);

0 = - k ₁ x ₀cos(k ₂ τ ₂). (6.17)

З другого рiвняння (6.11) знаходимо

k ₂ τ ₂ = π/ 2, тобто τ ₂ = (π/ 2)/ k ₂. (6.18)

Пiдставляючи значення τ ₂ в перше рiвняння (6.17), визначаємо

x (τ ₂) = - (k ₁ /k ₂) x ₀. (6.19)

Можна сказати, що в момент τ ₂ тягар знаходиться в крайньому лiвому положеннi i його координата та швидкiсть дорiвнюють

(6.20)

Формули (6.20) є початковими умовами руху тягаря на третьому етапi пiд дiєю лiвої пружини з крайнього лiвого положення в нульове.

На наступних етапах тягар повторить дослiдженi уже рухи: третьому етапу руху тягаря вiдповiдає рiвняння руху, яке описується рiвнiстю (6.13), а четвертому етапу – рівняння руху, яке описується рiвнiстю (6.6). Шуканий перiод Т вiльних коливань тягаря дорiвнює 2(τ ₁ +τ ₂):

T = π (k ₁ +k ₂) / k ₁ k ₂, (6.21)

де