Натуральна форма

Розкладаючи вектор прискорення на два компоненти по взаємно перпендикулярних напрямах дотичної i головної нормалi, одержимо:

(3.4)

В такому разi рiвняння руху в натуральнiй формi будуть мати вигляд:

(3.5)

де F_τ i F_n – проекцiї на додатно зорiєнтованi дотичну i головну нормаль рiвнодiйної сил, що дiють на точку (рис. 3.2).

Сила i прискорення точки завжди лежать у стичнiй площинi, орiєнтацiя якої в просторi визначається одиничними векторами i . Проекцiя сили на бiнормаль дорiвнює нулю.

Рис. 3.2

§ 4. Двi основнi задачi динамiки точки. План їх розв’язання

У динамiцi матерiальної точки можна ставити i розв’язувати задачi двох основних типiв.

Перша основна задача.

Вiдомий закон руху матерiальної точки

r = r (t), (4.1)

треба визначити рiвнодiйну сил, якi зумовили рух точки. Маса точки задається.

Спосiб розв’язування задачi: диференцiюємо двiчi рiвняння (4.1) i знаходимо прискорення (вiрнiше, його проекцiї). За диференцiальним рiвнянням руху знаходимо силу або її проекцiї.

Друга основна задача (обернена).

Заданими є сила F = F (t, r, v) i ”початковi умови”: в певний (початковий) момент часу t ₀ заданi радiус-вектор i швидкiсть v ₀ точки. Вiдома також маса точки. Треба знайти закон руху r = =r (t) точки в просторi.

Щоб розв’язати цю задачу, треба скласти диференцiальнi рiвняння руху i проiнтегрувати їх.

Момент часу t ₀ називається початковим; положення точки, яке визначається радiус-вектором , називається початковим положенням; швидкiсть точки в момент часу t ₀ називається початковою швидкiстю v ₀.

При розв’язуваннi задач динаміки матеріальної точки корисно додержуватись такого плану:

1) аналiз сил. Для цього треба:

а) видiлити дослiджуване тiло;

б) вказати усi навколишнi тiла, якi дiють на дослiджуване тiло;

в) визначити всi сили, що дiють на об’єкт дослiдження в русi вiдповiдно до тiл, перелiчених в пунктi б);

г) вказати залежнiсть сил вiд фiзичних параметрiв: часу, положення (координат), швидкостi i т. iн.;

2) показати на рисунку матерiальну точку (тiло) і прикладенi до неї заданi сили в довільний момент часу;

3) звiльнити точку вiд в’язей i показати сили реакцiй в’язей;

4) вибрати систему вiдлiку;

5) скласти диференцiальнi рiвняння руху матерiальної точки;

6) розв’язати складенi рiвняння руху;

7) проаналiзувати розв’язок.

Зауваження. Для закріплення матеріалу §§3-4 необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М. Наука, 1981 (1986)“:

1) № 26.1, 26.2, 26.5, 26.6, 26.8; 27.1, 27.2, 27.4, 27.30, 27.40, 27.47;

2) № 26.9, 26.10, 26.13, 26.14, 26.17-26.20, 26.24, 26.26; 27.7, 27.9, 27.16, 27.17, 27.22, 27.26, 27.32, 27.37, 27.49, 27.54, 27.58;

3) № 26.31-26.35; 27.36, 27.38, 27.60, 27.61, 27.64, 27.65.

Рекомендується розв’язати також задачі № 8.3, 8.4, 8.6, 8.7, 8.8, 8.13, 8.15, 8.16, 8.18 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.