Кривые Римана

Затем Эйнштейн узнал о немецком математике Георге Фридрихе Бернхарде Римане, который пошел в создании криволинейной геометрии дальше Лобачевского. В 1854 г. он вообразил, что пространство может быть искривленным. По сути дела, он разработал именно ту математику, которую Эйнштейн позднее использовал в теории относительности.

У Римана была короткая и потрясающая жизнь. Судя по всему, ему потребовалось всего шесть месяцев, чтобы создать свою новую геометрию. Риман проделал собственный мысленный эксперимент, спросив себя: «Что произойдет, если поместить над землей факел? Если держать факел на высоте 50 миль над землей и если там есть небольшая дымка, то как бы выглядел факел для нас на Земле?» Он думал, что от факела в дымке должен быть ореол, и его интересовало, будет ли ореол совершенно круглым. Его также интересовало, как измерять этот круг. Можно ли использовать формулу Евклида для измерения периметра круга? Эта формула – 2 × π × r, где π (или «пи») примерно равно 3,14, а r – это радиус круга.

Рис. 28.6. Мысленный эксперимент Римана: если факел, находящийся на высоте 50 миль над Землей, создает ореол, то каков его размер?

Риман вообразил, что он может измерить ореол в той эфирной дымке, чтобы проверить, действительно ли периметр круга соответствует формуле 2 × π × r. Согласно его мысленному эксперименту, ореол, если бы его можно было измерить, не обязательно был бы правильным кругом.

Меня поражает, что у Римана хватило смелости и способностей, чтобы сомневаться в том, что периметр круга был бы равен 2πr! Это все равно, что сомневаться в формуле 2 х 2 = 4.

Риман думал, что если действительно измерять что-либо, не соответствующее евклидовой геометрии, то разницу между евклидовой геометрией и новой криволинейной геометрией следует называть «кривизной». Под кривизной он подразумевал различие между прямой линией и ее искривлением в пространстве. Риман ничего не знал о том, действительно ли пространство искривлено; он просто следовал своей интуиции. Он считал, что может определить кривизну как различие между евклидовой прямой линией и тем, как дело обстоит в действительности. Он обозначил эту кривизну буквой g. Ему было известно, что в евклидовой геометрии небольшие расстояния, именуемые ds, можно вычислять в соответствии с формулой для диагонали кубы3.

Следовательно, в его новую формулу для действительного расстояния в пространстве мог входить множитель g. Иными словами, расстояние во Вселенной равно не просто ds, а ds х g4. Мера g определяет, насколько искривленными были бы свойства пространств новой геометрии. Когда кривизны нет, то есть в ситуациях, где имеется сравнительно немного массивных тел, g можно приближенно считать равным 1, и криволинейная геометрия становится обычной, прямолинейной евклидовой геометрией.

Рис. 28.7. Кривизна измеряется как отклонение от прямой линии

Риман рекомендовал изучать сходным общим образом все криволинейные пространства. Таким образом, он подготовил математические инструменты, которые Эйнштейн использовал для описания кривизны Вселенной, для выражения того факта, что пространство должно быть искривленным. Единственная разница между Эйнштейном и Риманом состояла в том, что Эйнштейн интуитивно догадывался, почему пространство искривлено, а именно, что за искривление пространства ответственно тяготение. У Эйнштейна была сверхъестественная физическая интуиция относительно того, почему пространство искривлено, в то время как Риман был в большей степени математиком и просто представлял себе, что кривизна возможна. Благодаря своим друзьям в

Цюрихе, учившим его математике, Эйнштейн нашел работу Римана и создал общую теорию относительности^[27].