Размер квадрата

Связь между евклидовой, или прямолинейной, и неевклидовой, или криволинейной, геометрией можно понять, представив себе проблему построения совершенного куба. Если бы вы могли сделать все шесть сторон или квадратов абсолютно одинаковыми (чего я не могу сделать на представленном ниже рисунке) и расположить их перпендикулярно друг другу, то у вас был бы совершенный куб.

Рис. 28.1. Шесть абсолютно квадратных сторон образуют куб

Евклид утверждал, что диагональ d куба (линию, идущую из одного угла – скажем, точки 1 – до другого угла – скажем, точки 2) можно измерить, найдя квадратный корень из х2 + y2 + z2 (то есть суммы квадратов длины, ширины и высоты).

Рис. 28.2. Диагональ d идет из точки 1 в точку 2

Теперь допустим, что у вас есть фантастически точные измерительные инструменты и вы можете найти действительную длину диагонали d путем измерения. Если бы у вас были такие инструменты, то вы бы обнаружили, что Евклид ошибался. На самом деле х2 + у2 + z2 не в точности равно d2! Построенный нами совершенный куб не подчиняется формуле Евклида потому, что пространство искривлено. На Земле мы почти никогда этого не замечаем, так как на маленькой планете, вроде Земли, пространство не слишком искривлено. Вблизи более крупных планет оно искривлено сильнее. Иными словами, в нашей Вселенной х2 + у2 + z2 не равно d2!

Для точного измерения чего-либо в нашей Вселенной нам необходима неевклидова геометрия. На Земле тяготение не так сильно, иначе вы бы заметили, что куб – это не куб. Повсюду, где есть много материи или сильное тяготение, пространство более искривлено; в тех областях Вселенной, где очень мало материи, евклидова геометрия дает очень хорошее приближение к реальности.

Вблизи очень плотных звезд тяготение так сильно, что пространство-время изгибается. По существу, эти звезды могут настолько изгибать пространство-время, что форма пространства – или сила тяготения – втягивает обратно все, что пытается покинуть эти области. Откуда мы это знаем? Мы можем видеть, что происходит со светом. Когда свет проходит вблизи тяжелой планеты, его лучи изгибаются, вместо того чтобы идти прямо. Когда масса небесного тела очень велика, лучи изгибаются еще сильнее, а вблизи очень плотного тела лучи изгибаются вокруг него и не могут вырваться. В этом случае мы имеем черную дыру. Пространство-время настолько искривлено, что свет изгибается по кругу.

Рис. 28.3. Лучи света изгибаются вокруг массивного тела