Краевые условия для напряжений

8. Деформированное состояние в точке, тензор деформаций. Инварианты тензора деформаций. Связь деформаций с перемещениями точек твердого тела (уравнения Коши).

Определение понятия деформации выводится на основании допущения о том, что перемещение точек неподвижного тела возможно только вследствие его деформации. Решается геометрическая задача об изменении длины и взаимных углов между элементами тела. Перемещение точки твердого тела после деформации в проекциях на координатные оси обозначают - эти величины малы и непрерывны в пределах всего тела. Рассмотрим элементарный объем:

Если тело подвергается деформации и компоненты перемещения в точке Р, то перемещение в напряжении оси Х точки А на длине dx составит следующее:

Соответственно увеличение длины ребра РА вследствие деформации равно . Относительное удлинение в точке Р в направлении оси Х соответственно . Аналогичное рассуждение справедливо для других осей .

Относительное удлинение обозначают - и называют линейной деформацией 1 рода:

Кроме линейных деформаций твердое тело можно деформировать без изменения объема, сдвигом:

Рассмотрим изменение угла между элементами РА и РВ в плоскости XY

После перемещения, линейный элемент РА переместиться в новое положение P’A’и образует с начальным положением угол . Аналогично P’В’ образует угол . Первоначальный угол между элементами РВ и РА равный 90 уменьшиться на величину - эта величина представляет собой деформацию сдвига между плоскостями и обозначается

Связь перемещения точек тела и деформаций тела выражается с помощью 6 уравнений, называемых формулами Коши:

6 величин, описывающих деформацию тела, образуют тензор деформаций:

Тензор симметричен относительно главной диагонали, вследствие парности угловых деформаций

Деформации инвариантны к преобразованию системы координат:

Компоненты тензора деформации не могут быть произвольными величинами, не связанными с - величинами перемещений. Для определения перемещений по величинам деформации они должны удовлетворять 6 уравнениям неразрывности (сплошности):

Если уравнения неразрывности деформации не удовлетворяются, то деформация тела происходит с разделением на фрагменты или с образованием надрывов на поверхности.