Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производная суммы, разности, произведения и частного функций. Производная сложной функцииПусть функции u=u(х) и ν=ν(х) - две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)'=u'±ν'. Обозначим у=u±ν. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем: Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)'=u'ν+v'u. При доказательстве теоремы используется теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ∆ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0. Можно показать, что: а) (с•u)'=с•u', где с = const; б) (u•ν•w)'=u'v•w+u•v'•w+u•v•w'. Производная частного двух функций если ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: Следствие 20.1. Следствие 20.2. Пусть у=ƒ(и) и u=φ(х), тогда у=ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х. Если функция u=φ(х) имеет производную u'х в точке х, а функция у=ƒ(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u=φ(х), то сложная функция у=ƒ(φ(х)) имеет производную у'х в точке х, которая находится по формуле у'х=у'u*u'х. По условию Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем ∆у=у'u•∆u+α*∆u, где α→0 при ∆u→0. Функция u=φ(х) имеет производную в точке х: Этому ∆u=u х •∆х+ß•∆х, где ß→0 при ∆х→0. Подставив значение ∆u в равенство, получим Δy=y u(u'х•∆х+ß*∆х)+а(u'х•∆х+ß•∆х), т.е. ∆у=у'u•u'х•∆х+у'u•ß•∆х+u'х•а•∆х+α•ß•∆х. Разделив полученное равенство на ∆х и перейдя к пределу при ∆х→О, получим у'х=у'u*u'х.
|