Теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль f(a)=f(b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная f’ обращается в нуль f’ (c)=0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на [a,b], то она имеет на этом отрезке наибольшее (M) и наименьшее значение m. Пусть f(c) - наибольшее значение.

Отсюда

Переходим к пределу и получаем одновременно f’ (c) ≤ 0 и f’ (c) ≥ 0, следовательно, f’ (c)=0.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство

Доказательство. Применим теорему Ролля к функции

где

Теорему Лагранжа геометрически можно пояснить так. Если рассмотреть график функции y=f(x), удовлетворяющий условиям теоремы и соединим концы графика на [ a; b ] хордой AB. Как мы уже отметили, отношение для хорды AB, а f '(c) есть угловой коэффициент касательной. Следовательно, теорема утверждает, что на графике функции y=f(x) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы дуги

Теорема Коши. Если функции g(x) и f(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем g ‘(x) ≠ 0 внутри отрезка [a,b], то существует точка x=c, a < c < b в которой выполняется равенство

Доказательство. Применим теорему Ролля к функции

где

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x → а, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.