Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойство м: ab=ba

так как │а││b│= │b││a│, cos(a,b) = cos(b,a), то ab = ba

2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством, относительно скалярного множителя.

(λa)b = λ (ba)

(λa)b = │b│пр_bλa = λ│b│пр_ba = λ (ab)

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством:

a(b + с) = ab + ac

a(b + c) = │a│пр_а(b+c) = │a│(пр_ab+пр_ac) = │a│пр_ab+│a│пр_aс = ab + ac

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

а² = │а│²

а² = а∙а = │а│∙│а│cos1 = │а│∙│а│= │a│²

В частности i² = j² = k² = 1 Если а возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль.

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0 ¹b, то а ^ b.