Решение. 1) В задаче описано поступательное движение бруска относительно Земли, которую считаем инерциальной системой отсчета

1) В задаче описано поступательное движение бруска относительно Земли, которую считаем инерциальной системой отсчета.

2) На брусок действуют:

- Земля с силой тяжести mg;

- нить с силой F;

- наклонная плоскость с силами нормального давления N и трения F_тр, причем,

3) По второму закону Ньютона

4) Направим ось х вверх вдоль наклонной плоскости (по ускорению в соответствии с условием задачи).

5) Спроектируем векторное уравнение на оси координат:

6) Получена система трех уравнений с тремя неизвестными. Из (3) находим величину силы нормального давления , из (1) - величину силы трения . Подставляя полученное выражение в (2), находим искомое ускорение

Пример 9. Под действием силы F = 10 Н тело движется прямолинейно так, что зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением S=A-Bt+Ct², где С = 1 м/с². Найти массу m тела.

Решение. 1) Известно, что зависимость пути от времени выражается формулой:

Отсюда имеем:

2) По условию: C=1 м/с² следовательно: a=2C=2 м/с²

3) Из второго закона Ньютона: F=ma отсюда: m=F/a=10/2=5 кг.

Пример 10. Ледяная горка составляет с горизонтом угол α (рис.14). По ней пускают вверх камень, который после подъема съезжает вниз. Дано: t₂/t₁=n.

Чему равен коэффициент трения μ, если время спуска в n раз больше времени подъема.

Рис.14

Решение. Уравнение движения камня

При движении вверх - движение равнозамедленное. В проекциях на оси ОХ и OY: m a ₁=F_тр+mg∙sinα; N-mg∙cosα=0,

откуда N= mg∙cosα. Тогда сила трения F_тр =μN=μmg∙cosα, и окончательно уравнение движения

При движении вниз:

Проведя аналогичные преобразования, получим уравнение движения в этом случае:

Из (1) и (2):

При движении вверх камень проходит путь ; скорость в конце подъема v =0, следовательно v _o= a ₁ t ₁, тогда

При движении вниз камень проходит путь

Из (3) и (4) получим

Используя (1) и (2):

отсюда

Пример 11. На рис.14.1, а изображен качающийся маятник, на рисунке 14.1, б - конический маятник. Верно ли представлено соотношение сил mg и Т на рисунках 14.1,а и 14.1,б?

Рис.14.1

Решение. В обоих случаях материальная точка движется по окружности. Вектор полного ускорения складывается из нормального ускорения a_n, направленного к центру окружности, и тангенциального a_τ, направленного по касательной к окружности. По второму закону Ньютона ускорение определяется равнодействующей силой, то есть ma=mg+T. Направления равнодействующей силы и ускорения совпадают.

В случае 14.1, а равнодействующая сила ориентирована вертикально, поэтому a_τ =0 и полное ускорение равно нормальному ускорению, a = a_n. Оно направлено к центру окружности, то есть вверх. Поэтому сила натяжения нити по величине должна быть больше силы тяжести. Соотношения между силами представлены неверно.

В случае 14.1, б материальная точка движется по окружности с постоянной скоростью. Ускорение при таком движении направлено к центру окружности. Во втором законе Ньютона ma=mg+T силы являются сторонами параллелограмма, а ma - его диагональю. Произведя на рисунке сложение векторов, можно сделать вид, что соотношения между силами представлены правильно.

Пример 12. Для материальной точки, движущейся по окружности, дан график зависимости скорости от времени v (t) (рис.15). Указать направление результирующей силы, действующей на материальную точку в положении М.

Рис.15

Решение. Скорость направлена по касательной к траектории. Из графика видно, что в момент времени t_M величина скорости уменьшается, поэтому тангенциальное ускорение a_𝛕 противоположно вектору скорости. Нормальное ускорение a_n направлено к центру окружности.

Рис.15.1

Изобразим вектор полного ускорения a=a_n+a_τ (рис.15.1). Направление равнодействующей силы совпадает с вектором полного ускорения.

Пример 13. Два маленьких шарика, массы которых равны m ₁ и m ₂, привязаны к нити один за другим и вращаются в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω (рис.16). Расстояния от шариков до оси вращения l ₁ и l ₂. Определить силы натяжения нитей.

Рис.16

Решение. Поскольку силой тяжести в данной задаче можно пренебречь, (по условию шарики вращаются в горизонтальной плоскости), будем считать, что на шарики действуют только нити: на шарик 1 одна нить с силойT₁, на шарик 2 - две нити с силами T₁ и T₂.

Запишем второй закон Ньютона сразу в проекциях на рaдиальное направление.

Для шарика 1: m₁a₁=T₁, (1)

для шарика 2: m₂a₂=T₂-T₁. (2)

Существенным условием данной задачи является равномерное движение материальных точек по окружности. При таком движении линейные скорости шариков не меняются по величине, а следовательно, тангенциальное ускорение равно нулю. Вектор полного ускорения направлен к центру окружности, а его величина связана с угловой скоростью ω и радиусом окружности r соотношением

Таким образом, величина ускорения каждого шарика соответственно равна и . С учетом этих соотношений уравнения динамики (1) и (2) примут вид

Отсюда получаем выражения для искомых сил:

Пример 14. Автомобиль массой m = 5 тонн проходит по выпуклому мосту со скоростью v =36 км/ч (рис.17). С какой силой F он давит на середину моста, если радиус кривизны моста R=100 м? Какова будет сила давления, если мост будет вогнутый с тем же радиусом кривизны?

Рис.17

Решение. На основании II закона Ньютона запишем уравнение движения автомобиля:

Выберем направление оси y и спроецируем на нее силы и ускорение. Обратим внимание на то, что поскольку движение автомобиля равномерное криволинейное, то ускорение

По III закону Ньютона сила, с которой автомобиль давит на мост, равна по модулю силе, с которой мост давит на автомобиль, т.е. силе нормальной реакции опоры N.

1) Уравнение движения в проекциях для первого случая имеет вид

2) Для второго случая

Пример 15. На сколько должен быть поднят наружный рельс над внутренним (рис.18) на закруглении железнодорожного пути радиусом 300 м, если ширина колеи 1524 мм? Скорость, при которой сила давления на рельсы перпендикулярна им, принять равной 54 км/ч.

Дано: R=300 м, l =1,524 м, v =15 м/с.

Найти: h -?

Рис.18

Решение. Поезд должен двигаться по окружности радиуса R со скоростью v, т.е. с ускорением a=v ²/ R, направленным горизонтально. Это ускорение вызывает равнодействующая сил . Поэтому наружный рельс должен быть приподнят на некоторую высоту h.

Второй закон Ньютона

в проекциях на оси ОХ и OY:

m a = N∙sinα,

N∙cosα - mg = 0.

Откуда

Так как угол α мал, то sinα≈tgα.

Из рис.18

Следовательно,

h=0,12 м.

Пример 16. На экваторе некоторой планеты тело весит вдвое меньше, чем на полюсе P=Р_п/2 (рис.19). Плотность вещества этой планеты ρ=3∙10³ кг/м³. Определить период вращения планеты T вокруг своей оси.

Рис.19

На тело, находящееся на поверхности планеты, действуют: - сила тяготения со стороны планеты, – сила нормальной реакции планеты (рис.19).

По определению, , где М - масса планеты, m - масса тела, R-радиус планеты.

Масса планеты: , а

По второму закону Ньютона:

в скалярной форме относительно оси Y:

F – N = ma_n, (2)

или

Рассмотрим два частных случая движения тела.

1. Тело находится на полюсе, т.е. r =0, тогда линейная скорость тела

Следовательно, уравнение (3) примет вид , откуда

N_п - сила нормальной реакции на полюсе.

2. Тело находится на экваторе. В этом случае r=R и v=2πr/T. Тогда уравнение (3) примет вид: , откуда

где N - сила нормальной реакции поверхности на экваторе.

По условию задачи, Р_э=Р_п/2.

Поскольку Р=N, то N=N_п/2, или с учетом (4)

Подставим формулу (6) в (5):