Домашнее задание. 1. Из пло­ской од­но­род­ной квад­рат­ной пла­сти­ны со сто­ро­на­ми a вы­ре­зан а) квад­рат со сто­ро­на­ми a/2

1. Из пло­ской од­но­род­ной квад­рат­ной пла­сти­ны со сто­ро­на­ми a вы­ре­зан а) квад­рат со сто­ро­на­ми a /2, б) круг диа­мет­ром a /2. Най­ди­те центр масс по­лу­чен­ных фи­гур (рис.6.4).

(а) на рас­стоя­нии a /12 от цен­тра пла­сти­ны, б) на рас­стоя­нии 0,06a от цен­тра пла­сти­ны)

2. По­строе­ни­ем най­ди­те по­ло­же­ние цен­тра масс од­но­род­ных пло­ских фи­гур а) про­из­воль­но­го тре­уголь­ни­ка, б) па­рал­ле­ло­грам­ма, в) тра­пе­ции, г) про­из­воль­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка.

3. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты цен­тра масс фи­гу­ры, изо­бра­жен­ной на рис.6.5.

(20 см, 5 см)

4. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты цен­тра масс пло­ской од­но­род­ной фи­гу­ры, изо­бра­жен­ной на рис.6.6.

(2,96 см; 2,63 см)

5. Од­но­род­ная пла­сти­на име­ет фор­му тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 16 см. В ней вы­ре­за­но круг­лое от­вер­стие ра­диу­сом 2 см, ка­саю­щее­ся двух смеж­ных сто­рон тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те по­ло­же­ние цен­тра масс по­лу­чен­ной фи­гу­ры.

(на рас­стоя­нии 3,95 см от цен­тра пла­сти­ны)

6. Че­ло­век за­хо­тел спус­тить­ся по ве­ре­воч­ной ле­ст­ни­це из сво­бод­но вися­ще­го аэ­ро­ста­та мас­сой 350 кг. Ка­кой ми­ни­маль­ной дли­ны ве­ре­воч­ную ле­ст­ни­цу он дол­жен при­вя­зать к гон­до­ле аэ­ро­ста­та, что­бы, сту­пая на по­след­нюю сту­пень­ку, он кос­нул­ся по­верх­но­сти зем­ли? Мас­са че­ло­ве­ка 70 кг. Рас­стоя­ние от по­верх­но­сти зем­ли до аэ­ро­ста­та 10 м.

(12 м)

Се­ми­нар 7. Ди­на­ми­ка аб­со­лют­но твер­до­го те­ла.

За­ко­ны со­хра­не­ния при дви­же­нии

аб­со­лют­но твер­до­го те­ла

7.1. На го­ри­зон­таль­но рас­по­ло­жен­ном не­ве­со­мом стерж­не по раз­ные сто­ро­ны от го­ри­зон­таль­ной оси на рас­стоя­ни­ях l ₁ и l ₂ за­кре­п­ле­ны ма­лень­кие ша­ри­ки мас­са­ми m ₁ и m ₂. Пре­дос­тав­лен­ный са­мо­му се­бе стер­жень пе­ре­хо­дит в вер­ти­каль­ное со­стоя­ние с гру­зом 2 сни­зу. Ка­кую ско­рость бу­дет иметь в этот мо­мент вре­ме­ни груз 2?

(l ₂√2 g (m ₂ l ₂ ─ m ₁ l ₁)/(m ₁ l ₁² + m ₂ l ₂² ))

7.2. На концах и посередине невесомого стержня длиной l закреплены одинаковые шарики. Стержень ставят вертикально на гладкую горизонтальную поверхность и отпускают. Найдите скорость верхнего шарика в момент его удара о поверхность.

(2√3 gl /5)

7.3. Два одинаковых маленьких шарика соединены невесомым стержнем длиной 60 см. Стержень стоит вертикально вплотную к вертикальной стенке. При смещении нижнего шарика на малое расстояние от стенки система приходит в движение. Найдите скорость нижнего шарика в момент времени, когда верхний шарик находится на высоте 40 см над горизонтальной поверхностью. Трением пренебречь.

(1,33 м/с)

7.4. Два одинаковых маленьких шарика массой m соединены невесомым стержнем. Стержень стоит вертикально вплотную к вертикальной стенке. При смещении верхнего шарика на малое расстояние от стенки система приходит в движение. Найдите силу, с которой нижний шарик действует на вертикальную стенку в тот момент времени, когда стержень составляет угол α с горизонтальной поверхностью. Трением пренебречь.

(mg (3sinα − 2)cosα)

7.5. Не­ве­со­мый стер­жень ABC, в точ­ках B и C ко­то­ро­го за­кре­п­ле­ны два оди­на­ко­вых ма­лень­ких ша­ри­ка, под­ве­шен в точ­ке A к очень длин­ной вер­ти­каль­ной ни­ти (рис.7.1). Стер­жень от­кло­ни­ли го­ри­зон­таль­но и от­пус­ти­ли. Най­ди­те ско­рость точ­ки под­ве­са A в мо­мент вре­ме­ни, ко­гда стер­жень бу­дет про­хо­дить вер­ти­каль­ное по­ло­же­ние, ес­ли AB= l, BC=2 l.

(4√ gl)

7.6. Ша­рик мас­сой 10 г под­ве­шен на ни­ти дли­ной 1,1 м к бру­ску мас­сой 100 г, ко­то­рый на­хо­дит­ся на глад­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти (рис.7.2). При­дер­жи­вая бру­сок, ша­рик от­кло­ня­ют так, что нить об­ра­зу­ет с вер­ти­ка­лью угол 60°, и от­пус­ка­ют оба те­ла од­но­вре­мен­но. Най­ди­те си­лу на­тя­же­ния ни­ти в мо­мент вре­ме­ни, ко­гда нить про­хо­дит вер­ти­каль­ное по­ло­же­ние.

(0,2 Н)

7.7. Же­ст­кий не­ве­со­мый стер­жень с ма­лень­ки­ми ша­ри­ка­ми мас­са­ми m ₁ и m ₂ на кон­цах на­хо­дит­ся внут­ри глад­кой сфе­ри­че­ской по­лос­ти и со­став­ля­ет угол α<90° с го­ри­зон­том. Бу­ду­чи от­пу­щен, стер­жень дви­га­ет­ся в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти так, что ша­ри­ки все вре­мя ка­са­ют­ся сте­нок по­лос­ти. Рас­тя­нут или сжат стер­жень при про­хо­ж­де­нии го­ри­зон­таль­но­го по­ло­же­ния? С ка­кой си­лой? Дли­на стерж­ня рав­на ра­диу­су по­лос­ти.

(g √3 m ₁ m ₂/(3 m ₁ + m ₂))

7.8. На вер­ши­не на­клон­ной плос­ко­сти дли­ной 1 м, со­став­ляю­щей угол 30° с го­ри­зон­том, на­хо­дит­ся сплош­ной ци­линдр с ра­диу­сом ос­но­ва­ния 10 см. Ци­линдр ска­ты­ва­ет­ся с на­клон­ной плос­ко­сти без про­скаль­зы­ва­ния. Най­ди­те ско­рость цен­тра масс ци­лин­д­ра у ос­но­ва­ния на­клон­ной плос­ко­сти, ес­ли ко­эф­фи­ци­ент тре­ния ка­че­ния ра­вен 0,005 м.

(7,23 м/с)

7.9. Че­ло­век сто­ит в цен­тре ска­мьи Жу­ков­ско­го и вме­сте с ней вра­ща­ет­ся с час­то­той 30 об/мин. Мо­мент инер­ции те­ла че­ло­ве­ка от­но­си­тель­но оси вра­ще­ния ра­вен 1,2 кг.м². В вы­тя­ну­тых ру­ках че­ло­век дер­жит две ги­ри мас­сой 3 кг ка­ж­дая. Рас­стоя­ние ме­ж­ду ги­ря­ми со­став­ля­ет 160 см. С ка­кой час­то­той ста­нет вра­щать­ся сис­те­ма, ес­ли че­ло­век опус­тит ру­ки и рас­стоя­ние ме­ж­ду ги­ря­ми ста­нет рав­ным 40 см? Мо­мент инер­ции ска­мьи ра­вен 0,6 кг.м², из­ме­не­ни­ем мо­мен­та инер­ции рук и тре­ни­ем пре­неб­речь.

(186,5 об/мин)

? 1. Мед­ный об­руч вра­ща­ет­ся во­круг оси, про­хо­дя­щей че­рез его центр тя­же­сти. Из­ме­нит­ся ли его уг­ло­вая ско­рость, ес­ли по­вы­сит­ся тем­пе­ра­ту­ра?

2. Два по­лых ша­ра, имею­щих оди­на­ко­вые мас­сы и объ­е­мы, покра­ше­ны в оди­на­ко­вый цвет. Как, не ца­ра­пая крас­ку, уз­нать, ка­кой шар алю­ми­ние­вый, а ка­кой мед­ный?

3. С на­клон­ной плос­ко­сти ска­ты­ва­ют­ся два ци­лин­д­ра оди­на­ко­вых диа­мет­ров и масс. Один из них свин­цо­вый, имею­щий проб­ко­вую обо­лоч­ку, а дру­гой – проб­ко­вый со свин­цо­вой обо­лоч­кой. Ка­кой из ци­лин­д­ров бы­ст­рее ска­тит­ся с на­клон­ной плос­ко­сти?

4. На не­ко­то­рых го­ноч­ных ав­то­мо­би­лях дви­га­тель сто­ит по­се­ре­ди­не. Ка­кое пре­иму­ще­ст­во име­ет та­кое рас­по­ло­же­ние?

5. По­че­му, при­жи­мая ру­ки к те­лу, фи­гу­ри­ст­ка на льду вра­ща­ет­ся бы­ст­рее?

6. За­пол­ни­те од­ну бу­тыл­ку пес­ком, а дру­гую – во­дой. Дай­те им ска­тить­ся с на­клон­ной плос­ко­сти без про­скаль­зы­ва­ния. Ка­кая из бу­ты­лок ска­тит­ся бы­ст­рее?