Первое приближение. Оптическое детектирование. Генерация второй гармоники

Рассмотрим более подробно нелинейные эффекты, обусловленные квадратичной восприимчивостью k ₂. В поле монохроматической волны частотой w нелинейная часть поляризованности имеет вид:

Первое слагаемое в этом выражении не зависит от времени. С ним связано так называемое оптическое детектирование. При прохождении через нелинейную среду интенсивной световой волны в среде возникает статическая поляризованность, создающая постоянное однородное электрическое поле. Этот эффект вполне аналогичен выпрямлению переменного тока и находит применение в детекторах мощных световых пучков. В детекторе проходного типа измеряется напряжение, возникающее на обкладках конденсатора нанесенных на боковые грани нелинейного кристалла, при прохождении сквозь него лазерного импульса»

Второе слагаемое в гармонически меняется во времени с удвоенной частотой основной волны (w ₂ = 2 w ₁). С ним связана генерация второй гармоники в нелинейной среде. Для нахождения поля этой гармоники поступаем так, как излагалось раньше. Представим это слагаемое как вещественную часть комплексного выражения и подставим в правые части уравнений Максвелла. Найдем сначала частное решение этой системы в виде , , которое соответствует вынужденным колебаниям на частоте 2 w. Из уравнений Максвелла с учетом нелинейной части поляризованности среды и соотношения следует:

Из уравнений следует, что вектора и ортогональны вектору , а из - что они взаимно перпендикулярны, причем вектора , , образуют правую тройку. Из выразим и подставим в, так что оно примет вид:

Раскроем векторное произведение учтем, что а квадрат волнового вектора волны нулевого приближения удовлетворяет соотношению . Выражение преобразуется так: ,

откуда получим значение напряженности электрического поля вынужденной волны на удвоенной частоте: .

Надо еще удовлетворить условию, чтобы на входе в нелинейную среду (где поместим начало координат) интенсивность второй гармоники обращалась в нуль. для этого к частному решению, найденному выше, надо добавить общее решение однородной системы уравнений, соответствующей уравнениям Максвелла с учетом нелинейной части поляризованности среды. Такое решение представляет собой свободно распространяющуюся в среде волну с частотой w ₂ = 2 w и волновым вектором , удовлетворяющим соотношению . Ее направление распространения и амплитуду следует выбрать так, чтобы на входе в нелинейную среду суммарная напряженность поля вынужденной и свободной волны частоты 2 w обращалась в нуль. В результате для второй гармоники, возвращаясь снова к вещественной форме записи, получаем следующее выражение:

.

Вторая гармоника представляет собой наложение двух волн одной и той же частоты w ₂ = 2 w вынужденной волны и свободно распространяющейся волны . Обе волны распространяются в одном и том же направлении, но с разными фазовыми скоростями. Поэтому по мере их движения будет меняться разность фаз между ними, возникает характерное в таких случаях явление биений. Предполагая, например, что интенсивная световая волна частотой w входит в нелинейную среду вдоль оси Oz, выражение преобразуется к виду: ,

откуда следует, что амплитуда напряженности поля для второй гармоники периодически зависит от z, т.е. от глубины проникновения в нелинейную среду. Зависимость интенсивности второй гармоники от z. показана на рис. 8.7. Интенсивность обращается в нуль при (k ₂ – 2 k)/2 = mp, где m - целое число, В таких точках вторичные волны частотой 2 w, испущенные разными точками среды, гасят друг друга в результате интерференции. Так как ,

то это условие можно записать в виде z = 2 ml _ког где расстояние l _ког = l /4[ n (2 w) – n (w)] называют когерентной длиной. На интервале от 0 до l _ког фазовые отношения таковы, что энергия от исходной волны передается второй гармонике, а на интервале от l _ког до 2 l _ког - возвращается в исходную волну. Этот процесс периодически повторяется по мере распространения исходной волны в нелинейной среде.

Р и с. 8.7

Впервые генерация второй гармоники была осуществлена Франкеном с сотрудниками в 1961 г. при прохождении импульса излучения рубинового лазера (l = 694,3 нм) через пластинку кварца. Излучение второй гармоники (l = 347 нм) соответствует ближней ультрафиолетовой области. Однако коэффициент преобразования энергии основного пучка в энергию второй гармоники в этих опытах был очень мал (~ 10 ^{– 8}). Это объясняется малостью когерентной длины l _ког в кварце. Когда ,

а потому , то длина когерентности обращается в бесконечность. В этом случае переход энергии от исходной волны ко второй гармонике особенно интенсивен и наблюдается на протяжении всего пути в нелинейной среде. Это происходит потому, что при выполнении условия (10) исходная волна, создающая нелинейную поляризованность на частоте 2 w, и испускаемые средой на этой частоте вторичные волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью и фазовые соотношения между ними всюду одинаковы. Вся нелинейная среда действует как объемная сфазированная решетка элементарных диполей с максимумом излучения в направлении распространения. Поэтому условие называют условием фазового синхронизма между исходной волной и ее второй гармоникой. При выполнении этого условия выражение становится неопределенным. Преобразуем знаменатель:

,

Учитывая, что (k ₁ – 2 k)/2 = D nw / c, получаем выражение для интенсивности второй гармоники:

, .

При выполнении условия фазового синхронизма и u = 0 для всех z и отношение (sin u / u). принимает максимальное значение, равное 1. Интенсивность второй гармоники пропорциональна квадрату толщины слоя нелинейной среды. Ее энергия возникает за счет энергии исходной волны и формула верна лишь для тех значений z, для которых I ₂ < I ₀. В противном случае метод последовательных приближений, которым она получена, становится неприменимым.

Для изотропной среды выполнение условия невозможно, так как в области ее прозрачности показатель монотонно возрастает с частотой. Однако фазовый синхронизм можно осуществить между обыкновенной и необыкновенной волнами в некоторых кристаллах. На рис. 8.8 приведены сечения поверхностей, изображающих зависимость показателей преломления n (w) и n (2 w) от направления волновой нормали для отрицательного одноосного кристалла дигидрофосфата калия KH₂PO₄.

Р и с. 8.8

Сплошные кривые относятся к частоте w, пунктирные - к удвоенной частоте 2 w. Видно, что поверхности для обыкновенной волны на частоте w и необыкновенной на частоте 2 w пересекаются между собой. Точкам их пересечения соответствуют направления, для которых между обыкновенной волной с частотой w и ее гармоникой с частотой 2 w выполняется условие фазового синхронизма, угол q между ними и оптической осью кристалла - угол синхронизма. Несмотря на различное направление поляризации этих волн, они могут нелинейно взаимодействовать между собой, так как в анизотропной среде квадратичная восприимчивость представляет собой тензор k_ikl. Электрическое поле исходной обыкновенной волны, напряженность которого перпендикулярна оптической оси, вызывает смещение зарядов на удвоенной частоте и в других направлениях, порождая волну второй гармоники, поляризованную в плоскости главного сечения. При правильном выборе направления исходной волны таким путем удается большую часть ее энергии перевести во вторую гармонику. Например, для инфракрасного излучения от лазера на неодимовом стекле (l = 1060 нм) в кристалле KDP направление синхронизма образует угол q = 41°35¢ с оптической осью. Интенсивность второй гармоники спадает почти до нуля при отклонении исходной волны от этого направления всего на 3¢. Генерация второй гармоники в нелинейных кристаллах используется для преобразования инфракрасного излучения мощных лазеров в видимое. При выполнении условия фазового синхронизма удается получать КПД преобразования около 30%. Более эффективными оказались системы, в которых нелинейный кристалл помещается внутри лазерного.резонатора. Как видно из, интенсивность второй гармоники пропорциональна квадрату интенсивности исходного излучения, которое внутри резонатора имеет значительно большую мощность, чем на выходе лазера. При оптимальном согласовании оптических элементов можно обеспечить выходное излучение лазера только на частоте второй гармоники.

Остановимся теперь на генерации волн с суммарной и разностной частотами. Природа этого явления в точности такая же, что и генерация второй. Поэтому укажем только, в чем состоит суть явления. Если на нелинейную среду направить два мощных пучка света с различными частотами w ₁ и w ₂, то из нее будет выходить свет не только с первоначальными частотами и их вторые гармоники, но и свет с суммарной w ₁ + w ₂ и разностной w ₁ – w ₂ частотами. Подобными методами удается далеко проникнуть в инфракрасную и ультрафиолетовые области спектра.