Пример решения задач

Пример 2. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (боровский радиус) и скорость электрона на этой орбите.

Решение. Согласно теории Бора, r радиус электронной орбиты и скорость электрона на ней связаны равенством:

mvr=nh/(2p). (1)

Так как в задаче требуется определить величины, относящиеся к первой орбите, то главное квантовое число n=1 и указанное выше равенство примет вид:

mvr=h/(2p). (2)

Для определения двух неизвестных величин необходимо еще одно уравнение. В качестве второго уравнения воспользуемся уравнением движения электрона. Согласно теории Бора, электрон вращается вокруг ядра, при этом сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании второго закона Ньютона можем записать:

mv²/r= e² /(4pe₀r²) (3)

(где е и m - заряд и масса электрона), или:

mv²= e² / (4pe₀r) (4)

Совместное решение уравнений (1) и (4) относительно r дает:

r=(e₀h)/(pme²) (5)

Подставив сюда значения и произведя вычисления, найдем боровский радиус:

r₁=5,29×10^-11 м.

Из равенства (1) получим выражение для вычисления скорости электрона на первой орбите:

v=h/(2pmr) (6).

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

v=2,18×10⁶ м/c.

Контрольная работа № 6.

1. Вычислить (в ангстремах) наибольшую и наименьшую длины волн в первой инфракрасной серии водорода (серия Пашена).

2. Какую энергию в электрон-вольтах нужно сообщить невозбужденному атому водорода, чтобы перевести электрон с первой орбиты на вторую, третью, четвертую, пятую? Чтобы ионизировать атом? Начертить с соблюдением масштаба схему энергетических уровней атома водорода. Для вычисления энергии использовать обобщенную сериальную формулу Бальмера.

3. Определить в электрон-вольтах энергию фотона, соответствующего: 1) третьей линии ультрафиолетовой серии; 2) второй линии инфракрасной серии (серии Пашена) спектра водорода. Начертить схему энергетических уровней атома водорода и указать на ней стрелками переходы, соответствующие указанным линиям.

4. Вычислить в метрах и в ангстремах длину волны, соответствующей: 1) первой линии ультрафиолетовой серии; 2) четвертой линии серии Бальмера спектра водорода. Начертить схему энергетических уровней атома водорода и указать на ней стрелками переходы, соответствующие указанным линиям.

5. Вычислить в ангстремах длину волны, которую испускает ион гелия He⁺ при переходе со второго энергетического уровня на первый. Сделать такой подсчет для иона лития Li⁺.

6. Вычислить по формуле Мозли наибольшую длину волны в ангстремах в К-серии характеристических рентгеновских лучей скандия (порядковый номер - 21).

7. При исследовании линейчатого рентгеновского спектра некоторого элемента было найдено, что длина волны, соответствующая линии К_a, равна 0,75 ангстрем. Определить порядковый номер элемента в таблице Менделеева. Как называется этот элемент?

8. Определить в электрон-вольтах энергию кванта, соответствующего линии К_a в спектре характеристических рентгеновских лучей марганца (Z = 25).

9. Какую наименьшую разность потенциалов нужно приложить к рентгеновской трубке, антикатод которой покрыт ванадием, чтобы в спектре рентгеновского излучения появились все линии К-серии ванадия? Порядковый номер ванадия Z = 23, граница К-серии 2,26 ангстрем.

10. При переходе электрона в атоме тантала (Z = 73) из М-слоя в L-слой испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 1,52 ангстрема. Вычислить приблизительное значение постоянной экранирования в формуле Мозли.

11. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.

12. Определить максимальную и минимальную энергии фотона в видимой серии спектра водорода (серии Бальмера).

13. Определить длину волны λ, соответствующую второй спектральной линии в серии Пашена.

14. Используя теорию Бора для атома водорода, определить: 1) радиус ближайшей к ядру орбиты (первый Боровский радиус); 2) скорость движения электрона по этой орбите.

15. Определить, на сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны λ=4,86·10^-7 м.

16. Определить длину волны λ спектральной линии, излучаемой при переходе электрона с более высокого уровня энергии на более низкий уровень, если при этом энергия атома уменьшилась на ΔЕ=10 эВ.

17. Используя теорию Бора, определить орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по третьей орбите атома водорода.

18. Определить изменение орбитального механического момента электрона при переходе его из возбужденного состояния в основное с испусканием фотона с длиной волны λ=1,02·10^-7 м.

19. Определить скорость v электрона по третьей орбите атома водорода.

20. Определить частоту ν вращения электрона по третьей орбите атома водорода.

21. Электрон находится на первой боровской орбите атома водорода. Определить для электрона: 1) потенциальную энергию Е_р; 2) кинетическую энергию Е_к; 3) полную энергию Е.

22. Определить: 1) частоту ν вращения электрона, находящегося на первой боровской орбите; 2) эквивалентный ток.

23. Пользуясь теорией Бора, найти числовое значение постоянной Ридберга.

24. Определить потенциал ионизации атома водорода.

25. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Е_i=13,6 эВ, определить первый потенциал возбуждения φ_i этого атома.

26. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Е_i=13,6 эВ, определить в электрон-вольтах энергию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии серии Бальмера.

27. Основываясь на том, что первый потенциал возбуждения атома водорода φ_i=10,2 В, определить в электрон-вольтах энергию фотона, соответствующую второй линии серии Бальмера.

28. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы удалить электрон со второй боровской орбиты атома водорода за пределы притяжения его ядром.

29. Электрон выбит из атома водорода, находящегося в основном состоянии, фотоном с энергией ε=17,7 эВ. Определить скорость электрона за пределами атома.

30. В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, длины волн которого в 9 раз меньше, чем у атомарного водорода. Определить элемент, которому принадлежит данный спектр.

31. Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.

32. Определить длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при Т=290 К.

33. Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определить длину волны де Бройля.

34. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией В=15 мТл по окружности радиусом R=1,4 м. Определить длину волны де Бройля для протона.

35. Определить, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля λ для него была равна 1 нм.

36. Определить длину волны де Бройля для частицы массой 1 г, движущейся со скоростью 10 м/с. Нужно ли учитывать в этом случае волновые свойства частицы?

37. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U=500 В, имеет длину волны де Бройля λ=1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определить её массу.

38. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определить длину волны де Бройля.

39. Определить длину волны де Бройля для электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если минимальная длина волны в сплошном спектре рентгеновских лучей равна 80 ангстрем.

40. Вычислить в ангстремах длину волны де Бройля для электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов в 510000 В. Учесть приращение массы, связанное с кинетической энергией.

41. Вычислить дефект массы (в а.е.м.) и энергию связи (в МэВ) ядра атома углерода . Определить энергию связи, приходящуюся на один нуклон.

42. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра, состоящего из пяти протонов и шести нейтронов.

43. Энергия связи электрона с ядром невозбужденного атома водорода равна 13,53 эВ. Определить (в а.е.м.) разность между суммой масс протона и электрона, взятых в свободном состоянии, и массой атома водорода.

44. Определить по дефекту массы, какую наименьшую энергию нужно затратить, чтобы расщепить ядро : 1) на отдельные нуклоны; 2) на три альфа - частицы.

45. Какую наименьшую энергию (в МэВ) нужно затратить, чтобы удалить нейтрон из ядра ?

46. Определить массу изотопа N, если изменение массы при образовании ядра N составляет 0,2508·10^-27 кг.

47. При отрыве нейтрона от ядра гелия Н образуется ядро Н. Определить энергию связи, которую необходимо для этого затратить. Массы нейтральных атомов Н и Н соответственно равны 6,6467·10^-27 и 5,0084·10^-27 кг.

48. Написать в общем виде схемы альфа - распада и бета - распада. Подсчитать на основании этих схем, сколько всего a - и b - частиц выбрасывается при превращении ядра урана в ядро висмута .

49. Энергия связи Е_св ядра, состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, равна 39,3 МэВ. Определить массу m нейтрального атома, обладающего этим ядром.

50. Период полураспада актиния - 225 равен 10 дням. Какая доля начального количества ядер распадается за 5 дней? За 1 с?

51. Определить, какую долю кинетической энергии теряет нейтрон при упругом столкновении с покоящимся ядром углерода С, если после столкновения частицы движутся вдоль одной прямой. Массу нейтрального атома углерода принять равной 19,9272·10^-27кг.

52. Определить число нуклонов, которые могут находиться на наинизшем квантовом уровне.

53. Определить, во сколько раз магнетон Бора (единица магнитного момента электрона) больше ядерного магнетона (единица магнитного момента ядра).

54. Определить, во сколько раз начальное количество ядер радиоактивного изотопа уменьшится за три года, если за один год оно уменьшилось в 4 раза.

55. Определить, какая часть (в %) начального количества ядер радиоактивного изотопа останется не распавшейся по истечении времени t, равного двум средним временам жизни τ радиоактивного ядра.

56. Средней продолжительностью жизни радиоактивного вещества называется промежуток времени, в течение которого число не распавшихся ядер уменьшается в е - раз, где е - основание натуральных логарифмов. Найти отношение средней продолжительности жизни (t) к периоду полураспада (Т).

57. Сколько атомов радия - 226 распадается за 1 год в препарате массой 1 мг?

58. Определить, какая часть начального количества ядер радиоактивного изотопа распадётся за время t, равное двум периодам полураспада T _1/2.

59. Период полураспада радиоактивного изотопа актиния Ас составляет 10 суток. Определить время, за которое распадется 1/3 начального количества ядер актиния.

60. Определить период полураспада радиоактивного изотопа, если 5/8 начального количества ядер этого изотопа распалось за время t =849 с.

61. Постоянная радиоактивного распада изотопа Pb равна 10^-9 с^-1. Определить время, в течение которого распадется 2/5 начального количества ядер этого изотопа.

62. Счетчик b - частиц, установленный вблизи препарата радиоактивного серебра, при первом измерении зарегистрировал 5200 b - частиц в минуту, а через 15 суток только 1300. Определить период полураспада в сутках.

63. Определить активность препарата стронция - 90 массой 1 мг, если период полураспада 18 лет.

64. Первоначальная масса радиоактивного изотопа йода I (период полураспада Т_1/2=8 суток) равна 1 г. Определить: 1) начальную активность изотопа; 2) его активность через 3 суток.

65. Определить постоянную радиоактивного распада λ для изотопов: 1) тория T h; 2) урана U; 3) йода I. Периоды полураспада этих изотопов соответственно равны: 1) 7·10³ лет; 2) 4,5·10⁹ лет; 3) 8 суток.

66. Лаборатория приобрела препарат иридия - 192 с активностью 40 ГБк. Какова будет активность препарата через 1 месяц? Через 5 месяцев?

67. Из каждого миллиона атомов радиоактивного изотопа каждую секунду распадается 200 атомов. Определить период полураспада.

68. Активность некоторого радиоактивного изотопа в начальный момент времени составляла 100 Бк. Определить активность этого изотопа по истечении времени, равного половине периода полураспада.

69. Начальная активность 1г изотопа радия Ra равна 1 кюри. Определить период полураспада T_1/2 этого изотопа.

70. Принимая, что все атомы изотопа йода I (период полураспада Т_1/2=8 суток) массой m=1 мкг радиоактивны, определить: 1) начальную активность А₀ этого изотопа; 2) его активность А через трое суток.

71. Определить период полураспада T_1/2 некоторого радиоактивного изотопа, если его активность за 5 суток уменьшилась в 2,2 раза.

72. Определить удельную активность А(число распадов в 1с на 1 кг вещества) изотопа U, если период его полураспада Т_1/2=4,5·10⁹ лет.

73. Пользуясь таблицей Менделеева и правилами смещения, определить, в какой элемент превращается U после трех α– и двух β–распадов.

74. Пользуясь таблицей Менделеева и правилами смещения, определить, в какой элемент превращается U после шести α– и трех β–распадов.

75. Ядра радиоактивного изотопа тория To претерпевают последовательно α–распад, два β–распада и α–распад. Определить конечный продукт деления.

76. Определить сколько α– и β–частиц выбрасывается при превращении ядра таллия Tl в ядро свинца Pb.

77. Определить высоту кулоновского потенциального барьера для α–частицы в ядре свинца Pb.

78. Определить кинетическую энергию E_k и скорость v теплового нейтрона при температуре окружающей среды, равной 17⁰С.

79. Ядро полония выбросило a - частицу с кинетической энергией 5,3 МэВ. Определить кинетическую энергию, приобретенную вследствие отдачи ядром, образовавшимся в результате альфа - распада. Какова полная энергия полураспада ядра полония в МэВ?

80. На какую глубину нужно погрузить в воду источник узкого пучка g - лучей кобальта - 60, чтобы уменьшить интенсивность пучка в 1000 раз, если коэффициент линейного ослабления этих лучей для воды 0,07 см^-1?

81. Бетонная плита толщиной 20 см уменьшает интенсивность узкого пучка g - лучей кобальта - 60 в 16,5 раза. Определить линейный коэффициент ослабления и толщину слоя половинного ослабления этих лучей для бетона.

82. Толщина слоя половинного ослабления узкого пучка g - лучей кобальта - 60 для свинца равна 1,3 см. Какова должна быть толщина слоя свинца, достаточная для ослабления пучка в 1000 раз?

83. Вычислить в МэВ энергию ядерной реакции: . Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

84. Вычислить в МэВ энергию ядерной реакции: . Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

85. Вычислить в МэВ энергию ядерной реакции: . Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

86. При ядерной реакции выделяется энергия в 4,7 МэВ. Определить массу покоя нейтрального атома , считая массы оставшихся атомов известными.

87. Энергия ядерной реакции равна 3,9 МэВ. Определить массу покоя нейтрального атома , считая массы остальных атомов известными.

88. Вычислить в МэВ энергию термоядерной реакции: .

89. Вычислить в МэВ энергию термоядерной реакции: .

90. Вычислить в МэВ энергию термоядерной реакции: .

91. Вычислить в МэВ энергию термоядерной реакции: .

92. Вычислить в МэВ энергию термоядерной реакции: .

93. Ядро урана , захватив один нейтрон, разделилось на два осколка и выбросило два нейтрона. Одним из осколков является ядро цезия . Определить атомный номер, массовое число и химический символ второго осколка.

94. Какая энергия выделяется при делении всех ядер 1 г урана - 235?

95. Тепловая мощность ядерного реактора равна 10000 кВт. Сколько ядер урана - 235 делится в 1 с? Какое количество урана потребляет реактор в 1 год?

96. Какую кинетическую энергию в МэВ приобретет протон, сделав 150 полных оборотов в магнитном поле циклотрона, если протон проходит между дуантами при разности потенциалов 100 кВ? На сколько процентов от массы покоя увеличится масса протона в связи с приобретением кинетической энергии? Начертить схему устройства циклотрона.

97. В циклотроне требуется ускорять дейтроны. Линейная частота переменной разности потенциалов, приложенной к дуантам, равна 10 МГц. Какую индукцию должно иметь магнитное поле, чтобы период обращения дейтрона совпадал с периодом изменения разности потенциалов между дуантами? Начертить схему устройства циклотрона.

98. Гамма - квант превратился в пару электрон - позитрон. Кинетическая энергия каждой частицы одинакова и равна 0,8 МэВ. Определить энергию гамма - кванта.

99. Свободный нейтрон радиоактивен. Выбрасывая b - частицу и нейтрино, он превращается в протон. Какая энергия в МэВ выделяется при этом превращении? Массу покоя нейтрино принимаем равной нулю.

100. Нейтральный p- мезон, распадаясь, превращается в два одинаковых фотона. Определить энергию каждого фотона, если кинетической энергией мезона можно пренебречь. Масса покоя нейтрального p - мезона в 265 раз больше массы покоя электрона.

Учебное издание

ФИЗИКА – 5,6

ОПТИКА

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Составители:

Белянушкин Александр Владимирович

Тихонова Нина Петровна