Интерполяционная формула Ньютона

Пусть . Построим первую разделенную разность

.

Откуда находим

.

Построим вторую разделенную разность

и выразим из нее :

.

Подставим в выражение для :

.

Аналогично привлекаем следующие узлы интерполяции для построения интерполяционной функции.

После использования всех узлов интерполяции:

Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

.

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что

.

Погрешность интерполяции

.

Более эффективное вычисление значения функции по интерполяционной формуле Ньютона можно получить, если преобразовать ее к такому виду:

Интерполяционная формула Ньютона позволяет легко наращивать число узлов интерполяции, требуя при этом вычисления лишь дополнительных слагаемых. Например, добавление узла приведет к вычислению слагаемого

.

Лекция 8