Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Ограничения многочленной интерполяции
Многочленная интерполяционная функция очень чувствительна к выбору узлов интерполяции. Рассмотрим интерполяционную формулу Лагранжа , где . Оценим норму функции , которую определим, как . С этой целью выполним очевидные преобразования: . Введем функцию Лебега: . Поскольку , получаем оценку: . Величина нормы функции зависит от распределения узлов интерполяции. Рассмотрим два случая. Случай 1. Узлы интерполяции на отрезке распределены равномерно. В этом случае (доказательство опускаем). При увеличении n многочлен может полностью оказаться непригодным для аппроксимации , т. к. неограниченно возрастает. Рассмотрим такой пример. Будем интерполировать функцию полиномом n -го порядка, выбирая узлы интерполяции равномерно распределенными. Введем норму ошибки интерполяции: и исследуем ее зависимость от порядка интерполирующего полинома. Для этого обратимся к численным результатам (см. табл.8.1). Таблица 8.1
Видно, что с увеличением погрешность интерполяции уменьшается вплоть до . Дальнейшее увеличение порядка полинома приводит к возрастанию . Случай 2. Узлы интерполяции являются нулями полинома Чебышева. Их нетрудно получить, если на отрезке построить полуокружность, разделить ее на равные части и спроектировать на отрезок середину каждой из них (рис. 8.1). В этом случае (доказательство опускаем). Обратимся к рассмотренному выше примеру (см. табл.8.2) Погрешность интерполяции теперь при возрастании порядка полинома монотонно падает. Рис. 8.1. Расположение нулей полинома Чебышева Таблица 8.2
Многочленная интерполяция в точках Чебышева позволяет увеличивать точность приближения функции посредством увеличения порядка полинома. Однако привлекать узлы Чебышева не всегда удается. (Например, в узле Чебышева функция имеет особенность.) Чтобы избежать зависимости точности аппроксимации от локальных свойств функции, переходят к кусочно-полиномиальной аппроксимации. Date: 2015-07-27; view: 461; Нарушение авторских прав |