Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений

Пусть задана система нелинейных уравнений

решение которой достигается в точке пространства . Обозначим ; . Тогда исходная система запишется в виде

.

Предположим, что известно k -е приближение к . Построим правило Ньютона вычисления (k+ 1 ) -го приближения в форме

.

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки и сохраним в разложении два члена:

.

Полагая, что решение системы достигается на текущей итерации, относительно поправки получим систему линейных алгебраических уравнений:

.

Тогда

,

и итерационное правило Ньютона решения системы нелинейных алгебраических уравнений запишется как

Такой вид метода Ньютона неудобен на практике, потому что требует вычисления обратной матрицы, а эта операция достаточно трудоемка. На практике метод Ньютона реализуется в следующем виде:

1. Решается система линейных алгебраических уравнений и вычисляется вектор поправки:

,

где – матрица Якоби системы;

2. Вычисляется (k+ 1 ) -е приближение

,

3. Пункты 1, 2 повторяются для k= 0, 1, 2 ,… до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Критерием завершения итерационного процесса служат условия

, ,

или в более общей форме

, .