Статика. Лекция 1. Задачи статики, аксиомы статики. Связи и реакции связей

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором изучаются общие правила действия с силами и условия равновесия абсолютно твердого тела под действием приложенных сил. В статике решаются две основные задачи - задача о преобразовании сил и задача о равновесии сил, приложенных к абсолютно твердому телу.

Задача о преобразовании сил состоит в решении следующего вопроса: как данную систему сил заменить другой системой сил, ей эквивалентной? С задачей такого типа мы неоднократно встречаемся уже в школьном курсе физики, когда требуется сложить две силы или разложить данную силу на составляющие по двум заданным направлениям. Данная сила и ее составляющие- суть две эквивалентные системы сил. Часто требуется отыскать простейшую систему сил, эквивалентную данной.

В задаче о равновесии выводятся условия, которым должны удовлетворять действующие силы, чтобы твердое тело под их совокупным действием могло находиться в состоянии равновесия.

При решении этих задач руководствуются аксиомами статики - некоторыми основополагающими исходными положениями, справедливость которых принимается без доказательства. Вот эти аксиомы.

Аксиома 1

Свободное абсолютно твердое тело под действием двух сил может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 3).

Эта аксиома устанавливает простейшую уравновешенную систему сил в виде совокупности двух сил и , равных по модулю и противоположно направленных вдоль общей линии действия . Для уравновешенной системы сил будем использовать обозначение (символ эквивалентности нулю).

Тогда содержание первой аксиомы запишется так:

если .

Аксиома 2

Если к системе сил, приложенной к абсолютно твердому телу, добавить или исключить из нее уравновешенную систему сил, то получим новую систему сил, эквивалентную первоначальной.

Поясним смысл этой аксиомы примером. Пусть к твердому телу приложены силы (рис. 4,а). Дополнительно приложим к телу две силы и , равные по величине, противоположные по направлению и действующие вдоль одной прямой DE (рис. 4, б). Согласно аксиоме 1, силы и образуют уравновешенную систему сил: . Тогда из аксиомы 2 следует, что полученная система из пяти сил, показанная на рис. 4, б, и исходная система из трех сил, показанная на рис. 4, а, эквивалентны. Это можно записать так

Данная аксиома используется при доказательстве многих теорем статики. В частности, из нее вытекает следующая важнейшая для построения статики теорема.

Теорема (о соответствии силы скользящему вектору)

Не изменяя действия данной силы на абсолютно твердое тело, точку приложения силы можно перемещать вдоль линии действия силы.

Доказательство. Пусть к абсолютно твердому телу приложена сила , то есть сила, определяемая вектором и точкой приложения силы А (рис. 5, а). Проведем линию действия силы и выберем на ней произвольную точку В (рис. 5, б). Приложим в точке В две силы и , равные по модулю заданной силе и направленные вдоль прямой в противоположные стороны (рис. 5, в).

Силы и образуют уравновешенную систему сил, поэтому, согласно аксиоме 2, система сил и заданная сила эквивалентны:

Но силы и также образуют уравновешенную систему сил, и на основании той же аксиомы 2 могут быть отброшены. Отбрасывая эти силы, приходим к эквивалентной системе, состоящей только из одной силы (рис. 5, г):

Рис. 5.

В полученных отношениях соответствия левые части одинаковы, откуда следует

что и доказывает нашу теорему.

Из этой теоремы следует, что точка приложения силы в статике не имеет значения, достаточно указать только линию действия силы. Векторные величины, смысл которых не изменяется при переносе вдоль линии действия, называются скользящими векторами. Следовательно, сила в статике твердого тела является скользящим вектором.

Линию действия силы можно задавать непосредственным описанием (например: сила приложена к свободному концу балки перпендикулярно к ее оси), геометрически (при помощи чертежа), заданием уравнения прямойлинии. Однако в статике более удобным оказывается задание линии действия силы при помощи новой физической величины - момента силы относительно точки (центра).