Содержательная постановка двойственной задачи

Для любой задачи линейного программирования можно сформулировать задачу-двойник, или иначе, двойственную задачу. Эта задача-двойник является своеобразным«зеркальным отражением» исходной задачи, поскольку ее формулировка использует те же параметры, что и исходная задача, а ее решение может быть получено одновременно с решением исходной задачи. Фактически при решении исходной задачи симплекс – методом одновременно решается и двойственная задача, и наоборот. Следует также заметить, что исходная и двойственная задачи совершенно симметричны. Если двойственную задачу рассматривать как исходную, то исходная будет для нее двойственной.

Одной из важнейших “зеркальных” связей между исходной и двойственной задачами является связь между искомыми неизвестными (х₁, х₂) и эффективностью (предельной эффективностью, «теневой ценой»). Для того чтобы уловить эту связь, сформулируем содержательно двойственную задачу к знакомой нам задачи об оптимальном плане выпуска мороженого.

Пусть имеется покупатель на все виды ресурсов, используемые для выпуска продукции (см.табл.исходных данных).

Какие цены на эти ресурсы нужно назначить, чтобы продать их было выгоднее, чем производить продукцию? Какую минимальную сумму можно выручить от продажи ресурсов при этом условии?

Поскольку в этой задачи четыре вида ресурсов (четыре ограничения), то и искомых неизвестных, которыми являются цены, назначения при продаже, должно быть тоже четыре:

цена 1кг молока - u₁

цена 1 кг наполнителя - u₂

цена 1 кг изменения спроса на сливочное мороженое - u₃

цена 1 кг изменение спроса на шоколадное мороженое - u₄

Сразу заметим, что эти цены называются теневыми. Они, разумеется, не могут иметь никакого отношения к рыночным ценам на данные ресурсы, поскольку, как будет видно из решения, никаких рыночных (или внерыночных) механизмов формирования цен на данные в решение не рассматривается. Теневые цены характеризуют ценность ресурсов для производителя.