Теория двойственности в задачах линейного программирования

Получение оптимального решения оптимизационной задачи вообще и задачи линейного программирования в частности - это не конец, а фактически только начало работы менеджера с количественной моделью. При формулировке модели, как уже отмечалось, величины, количественно характеризующие ту или иную систему или управленческую ситуацию, разбиваются на две группы. Первая группа – это величины, которые субъект, принимающий решение, должен менять в ходе поиска оптимума целевой функции. В нашем случае – это количество сливочного и шоколадного мороженого (x₁, х₂).

Нахождение оптимальных значений x₁ и x₂ и составляет содержание процесса «принятия решений» в данном случае. Переменные второй группы величин в ходе поиска оптимума целевой функции должны считаться постоянными (количество молока и наполнителя, ограничения по спросу, отпускная цена, расход ресурсов на единицу продукции).

Ясно, что именно величины второй группы определяют оптимальные значения переменных и целевой функции. Некоторые параметры действительно трудно поддаются изменению. Например, параметры, характеризующие технологический процесс (величина на расходы молока и наполнителя на 1 кг мороженого), а также величина спроса, вряд ли могут быть изменены менеджером. Этот вопрос должен решаться специалистом-технологом. Однако изменение доступных для производства ресурсов (общие запасы молока и наполнителя) находится, разумеется, в компетенции менеджера производственного отдела. Вопрос об отпускных ценах на продукцию цеха (а, следовательно, об изменение прибыли от продажи единицы продукции каждого типа) - это также управленческий вопрос.

Таким образом, многие параметры модели могут (и должны) изменяться менеджером с целью поиска путей улучшения работы системы. Поскольку изменение параметров модели часто связано с привлечением дополнительных финансовых ресурсов, необходимо ответить на ряд вопросов.

- какой ресурс наиболее сильно влияет на изменение прибыли (издержек)?

- как изменится решение и целевая функция при изменении количества того или иного ресурса?

- если какой-либо продукт не входит в оптимальный план, а по каким-то не формализуемым причинам желательно, чтобы он в него входил, то какой параметр, и в каком направление следует изменить? и т.д.

Для того чтобы сформировать интуитивное представление о том, как может меняться решение задачи линейного программирования при изменении параметров, полезно познакомиться с понятием двойственности задач линейного программирования.

В этом разделе вводится новое понятие теории линейного программирования - понятие двойственности. Будучи исключительно важным в теоретическом отношении, оно имеет богатое экономическое содержание. На основе теории двойственности разработан алгоритм решения задач линейного программирования - двойственный симплексный метод и эффективные методы анализа моделей на чувствительность. Любой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу, сформулированную по стандартным правилам таким образом, что решение любой из них является и решением другой задачи. Такие задачи называются взаимодвойственными, они вместе образуют задачу торга.