Матрица жесткости элемента конструкции

4.6. Матрицей жесткости определяется связь между узловыми перемещениями и узловыми усилиями элемента, т. е. определяются его упругие свойства. Для каждого узлового перемещения вводится соответствующее узловое усилие. Совокупность этих усилий характеризует влияние смежных элементов конструкции на рассматриваемый элемент.

Между узловыми усилиями и узловыми перемещениями элемента существует определенная связь

(4.1)

где - вектор-столбец узловых усилий; r - матрица жесткости стержня; - вектор-столбец узловых перемещений.

Рис. 4.1. К построению матрицы жесткости стержня по недеформированной схеме

Ниже приводится определение матрицы жесткости для стержня с шарнирным присоединением к узлам конструкции по недеформированной схеме. Стержень ab ориентирован относительно неподвижной прямоугольной системы координат (рис. 4.1). Соотношение (4.1) для данного стержня может быть записано в следующей форме:

(4.2)

где

- векторы обобщенных усилий в узлах а и b понаправлениям координатных осей;

- соответственно векторы обобщенных перемещений узлов а и b направлениям координатных осей;

r_аа, r_аb и т.д. - квадратные подматрицы размерностью 3×3 реакций в узле с номером, помеченным первым индексом от единичных перемещений узла с номером, помеченным вторым индексом.

В линейной постановке задачи

(4.3)

где n _х, n _y, n _z - направляющие косинусы стержня; l - длина стержня; D _n - жесткость стержня на действие продольной силы.

При центральном приложении продольные силы в упругой стадии работы D _n = EA.