Особенности построения алгоритма расчета

4.18. При построении алгоритма расчета структурных конструкций произвольной формы первостепенное значение имеют способы задания и переработки исходной информации.

Сведения о связи между элементами в стержневой системе и количестве неизвестных задаются нумерацией узлов и описанием условий опирания. От принятого порядка нумерации узлов зависит характер структуры матрицы жесткости. Для метода перемещений всегда можно получить ленточную структуру, правильно выбирая порядок нумерации узлов. Размер ширины ленты определяется стержнем с максимальной разницей между номерами соединяемых узлов, поэтому для обеспечения наименьшей ширины ленты системы канонических уравнений рекомендуется нумерация, при которой разница между номерами узлов, соединенных стержнями, будет наименьшей. Па рис. 4.4 показан пример нумерации узлов для простейшей стержневой системы.

Форма записи условии опирания может быть выбрана индивидуально в зависимости от особенностей построения алгоритма. Алгоритм формирования матрицы жесткости должен быть построен с учетом вычеркивания строк и столбцов, соответствующих заданным закреплениям. Однако, несмотря на то, что указанная операция, позволяющая уменьшить общее число уравнений равновесия, является относительно простой и может быть легко запрограммирована, часто оказывается удобным непосредственно решить первоначальную систему уравнений с тем, чтобы избежать реорганизации машинной памяти. Это рекомендуется осуществлять с помощью искусственного приема, при использовании которого вместо исключения уравнения равновесия диагональному элементу в нем присваивается значение 1, а остальным элементам, включая элементы правых частей, а также элементам соответствующего столбца присваивается значение 0. Вычеркиваются лишь те блочные строки и столбцы, которые соответствуют узлам, закрепленным по всем трем направлениям координатных осей. В этом случае размеры всех подматриц сохраняются, что значительно упрощает построение алгоритма.

Рис. 4.4. Пример нумерации узлов (сплошная линия - пояса, пунктирная - раскосы)

Рис. 4.5. Система уравнений равновесия для конструкции, изображенной на рис. 4.4

Помимо информации об основной системе и неизвестных должны быть заданы геометрия системы (координаты узлов относительно неподвижной прямоугольной системы координат), жесткостные характеристики элементов и нагрузки.

Матрица системы уравнений равновесия метода перемещений обладает ленточной структурой и симметрией относительно главной диагонали. В связи с этим в памяти ЭВМ целесообразно хранить лишь часть матрицы, расположенную по одну сторону от диагонали, шириной равной половине ширины ленты.

На рис. 4.5 в левой части матричного уравнения представлена матрица жесткости стержневой системы, изображенной на рис. 4.4. Элементы этой матрицы, за исключением диагональных, представляют собой матрицы жесткости соответствующих стержней конструкции. Диагональные элементы определяются суммированием с обратным знаком матриц жесткости стержней, примыкающих к узлу, соответствующему номеру диагонального элемента. Матрица построена с учетом вычеркивания блочной строки, соответствующей 3-му узлу, закрепленному по всем трем направлениям координатных осей. В блочных строках, соответствующих опорным узлам 1, 11 и 13 вместо исключения уравнения равновесия диагональному элементу в нем присваивается значение 1, а остальным элементам, включая элементы правых частей, а также элементам соответствующего столбца присваивается значение 0.Например, элементы первой блочной строки равны

при этом

r _{xx (11)} = - r _{xx (12)} - r _{xx (13)} - r _{xx (14)} - r _{xx (16)},

Для решения системы уравнений равновесия рекомендуется использовать метод исключения Гаусса. Для симметричных систем уравнений ленточной структуры вычисления выполняются над числами, расположенными выше главной диагонали и только в пределах ширины ленты. Наиболее трудоемкая часть расчета (прямой ход) выполняется сразу для матрицы и произвольного числа свободных членов. Для каждой графы свободных членов дополнительные вычисления невелики.

По найденным перемещениям определяются усилия в элементах и производится проверка условий равновесия узлов.

Основной блок программы расчета методом перемещений должен включать в себя следующие этапы:

1. Переработка исходной информации из внешней формы, удобной для инженера, но внутреннюю, удобную для последующих вычислений в машине, и распределение ее в памяти ЭВМ.

2. Формирование системы уравнении равновесия и распределение ее в памяти ЭВМ.

3. Решение системы уравнений равновесия.

4. Вычисление усилий в элементах конструкции.

5. Проверка условий равновесия узлов.

При составлении универсальных программ рекомендуется предусмотреть обращение к некоторым процедурам, для которых определено назначение, но не содержание. Разработка содержания процедуры приспосабливает общий алгоритм к определенному более узкому классу задач, а замена процедуры качественно меняет алгоритм. Данный алгоритм, в свою очередь, может входить в качестве процедуры в другой более общий алгоритм.

При расчете стержневых систем методом перемещений единицей, несущей информацию, является некоторый элемент системы. Поэтому в основном блоке программы в который входят процедуры формирования и решения системы уравнений равновесия, определение усилий в элементах н проверка условий равновесия узлов, рекомендуется предусмотреть обращение к процедуре определения коэффициентов матрицы жесткости элемента. Содержание этой процедуры может, быть различным в зависимости от решения задачи с учетом или без учета геометрической нелинейности, пластической работы материала и других факторов.

С другой стороны, универсальная программа метода перемещений и все ее варианты могут входить в состав более сложных программ, управляющих, например, процессом линеаризации в нелинейных системах или процессом вариации при оптимальном проектировании конструкции. Она может быть использована также при расчете непрерывных систем, если для них разработан и обоснован метод дискретной аппроксимации.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ