Применение метода перемещений при сложной основной системе

4.21. Основная система метода перемещений образуется наложением фиктивных связей в узлах соединения блоков между собой.

Система канонических уравнений метода перемещений для сложной основной системы имеет вид

(4.32)

или .

где R - матрица реакций в фиктивных связях в узлах соединения блоков между собой от единичных перемещений по направлениям отброшенных связей; - вектор-столбец неизвестных перемещений

узлов соединения блоков между собой; F - вектор-столбец реакций в фиктивных связях от внешней нагрузки. При шарнирном соединении блоков между собой элементы этой матрицы представляют собой квадратные подматрицы размером 3×3

Элементы этой подматрицы - реакции в узле i по направлениям координатных осей х, у и z от единичных перемещений узла j по тем же направлениям.

Коэффициенты матрицы реакций R и элементы правого столбца определяются расчетом каждого из блоков па действие единичных перемещений по направлениям отброшенных связей и на действие внешней нагрузки либо на ЭВМ по существующим программам, либо соответствующими методами теории упругости и строительной механики.

Решая полученную систему уравнений равновесия, получаем перемещения узлов соединения блоков между собой. Окончательно напряженное состояние каждого из блоков определяется расчетом на совместное действие внешней нагрузки, приложенной к данному блоку и найденных перемещений его узлов.

Ниже приводится пример использования этого метода при расчете каркаса здания, изображенного на рис. 4.6, покрытие которого состоит из 4 структурных плит, опертых на колонны в уровне верхних поясов. Опирание структур на колонны шарнирно-неподвижное. В общем случае размеры структурных плит и жесткости колонн могут быть различны. Система в целом находится под воздействием горизонтальных и вертикальных нагрузок, неравномерно распределенных между элементами каркаса.

На рис. 4.6 показана нумерация узлов соединения элементов каркаса между собой, обеспечивающая минимальную ширину ленты системы канонических уравнений. Основная система образуется наложением фиктивных связей в этих узлах по направлениям координатных осей в выбранной системе отсчета. Для удобства введем также нумерацию структурных плит (па рис. 4.6 она показана римскими цифрами). Номерам колонн присвоим номера узлов опирания на них структурных плит. На рис. 4.7 представлено матричное уравнение метода перемещений для данной системы. Рассмотрим процесс формирования матрицы реакций и правых частей этого уравнения.

Рис. 4.6. К примеру расчета каркаса здания

Рис. 4.7. Система уравнений равновесия для каркаса здания, изображенного на рис. 4.6

Поскольку матрица симметрична, находим значение коэффициентов, расположенных по одну сторону от главной диагонали. Производится расчет структурных плит на ЭВМ и расчет колонн обычными методами строительной механики на внешние нагрузки при наложении фиктивных связей и на единичные перемещения по направлениям отброшенных связей.

Расчетом структурной плиты I при несменяемых опорных узлах 1, 4 и 5 на единичные перемещения узла 1 по направлениям координатных осей х, у и z определяются коэффициенты подматриц первой блочной строки, за исключением диагональных: r ₁₂, r ₁₄, r ₁₅.

Расчетом данной плиты при несмещаемых узлах 1, 4, и 5 на единичные смещения узла 2 определяются коэффициенты подматриц r ^I₂₄ и r ^I₂₅.

Расчетом структурной плиты II при несмещаемых узлах 3, 5 и 6 на единичные перемещения узла 2определяются коэффициенты подматриц r ₂₃, r ^II₂₅ и r ₂₆.

Коэффициенты подматриц с номерами узлов, расположенных на гранях двух смежных плит, определяются суммированием подматриц, полученных на ЭВМ для каждого из блоков в отдельности, например

r ₂₅ = r ^I₂₅ + r ^II₂₅.

Таким образом найдены коэффициенты второй блочной строки, за исключением диагональных. Аналогично находятся остальные коэффициенты матрицы реакций.

Расчетом колонн на единичные перемещения верхнего узла по направлениям координатных осей получаем реакции колонн в заделке. Матрица реакций в заделке i -той колонны имеет вид

Диагональные элементы матрицы реакций R с учетом значения матриц R _кi равны

(4.33)

В выражении (4.33) вклад в сумму будут давать только элементы с номерами узлов блоков, примыкающих к узлу n, например

r ₁₁ = - r ₁₂ - r ₁₄ - r ₁₅ - R _k1;

r ₂₂ = - r ₂₁ - r ₂₃ - r ₂₄ - r ₂₅ - r ₂₆ - R _k2.

Элементы правых частей представляют собой реакции в фиктивных связях от внешней нагрузки, например,

где q ₁, A ₁, q ₁₁, A ₁₁ - равномерное распределенная нагрузка и площадь соответственно для блоков I иII.

В результате решения полученной системы уравнений равновесия определяем перемещения узлов соединения элементов каркаса между собой. Окончательно напряженно-деформированное состояние элементов каркаса получаем расчетом на заданные внешние нагрузки и найденные перемещения опорных узлов структурных блоков - на ЭВМ по существующим программам расчета, колони - обычными методами строительной механики.

РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ И ДРУГИХ СЛОЖНЫХ В ПЛАНЕ СТРУКТУРНЫХ ПЛИТ С ВЫДЕЛЕНИЕМ ПОДСИСТЕМ

4.22. Для сложных структурных плит при большом количестве узлов и стержней рекомендуется производить разделение конструкции на подсистемы произвольной формы, что соответствует подразделению матрицы системы уравнений равновесия узлов конструкции на блоки [5].

Из всего множества узлов структурной плиты выделяются узлы связи, по которым сочленяются подсистемы и к которым сводится жесткость каждой подсистемы путем исключения внутренних узлов. Уравнения равновесия узлов связи составляют окончательную систему уравнений равновесия конструкции. Ниже приводится описание процедуры исключения внутренних узлов каждой подсистемы.

Система уравнений для одной подсистемы имеет вид

(4.34)

где - столбец (1×3 у ₀) трехкомпонентных векторов перемещений всех узлов подсистемы; - столбец (1×3 у ₀) трехкомпонентных векторов нагрузки, приложенной в уздах подсистемы; R ₀ - матрица (3 у ₀×3 у ₀) жесткостных коэффициентов; y ₀ - число узлов подсистемы.

Подразделив узлы на внутренние и узлы связи, можно записать (4.34) в виде

(4.35)

После исключения первой строки получим

(4.36)

Окончательная система уравнений равновесия составляется после определения для всех подсистем выражений типа (4.36) и поэлементного суммирования одноименных клеток (3×3) матриц жесткости для контурных узлов. Она имеет вид

(4.37)

где - столбец (1×3 у _с) трехкомпонентных векторов перемещений узлов связи; - столбец (1×3 у_c)трехкомпонентных векторов узловых нагрузок в узлах связи; R ^c - матрица (3у_c ×3у_c) жесткостных коэффициентов узлов связи; у _с - число узлов связи.

Перемещения всех внутренних узлов каждой подсистемы находятся после решения системы уравнений (4.37) по найденным перемещениям узлов связи обратным ходом

(4.38)

где - перемещения узлов связи, соответствующих данному элементу, выбранные из столбца . По найденным перемещениям узлов находятся усилия во всех стержнях.

Описанную методику исключения неизвестных можно представить, истолковав полную матрицу системы уравнений как квазидиагональную с окаймлением. Запишем матрицу R ⁿ полной системы уравнений, которая фактически не составляется, в виде

(4.39)

где через 0 обозначены блоки, все элементы которых тождественно равны нулю. В конструкции выделены подсистемы, все узлы связи объединены в блок с. Блоки R ₁₁, R ₂₂,.., R _сс квадратные и невырожденные, поэтому для решения системы уравнений с матрицей R ⁿ можно применить методы исключения Гаусса в блочной форме. После исключения блоков составляется окончательная система уравнений типа (4.37).

Процедура блочного исключения внутренних узлов каждой подсистемы графически представлена на рис. 4.8.

4.23. Для расчета сложных структурных плит с выделением подсистем с учетом геометрической нелинейности рекомендуется использовать итерационный процесс, который начинается с решения задачи в линейной постановке по уравнениям (4.34) и (4.37) и идет по следующей схеме:

(4.40)

где F ⁽ⁱ⁾_E - вектор нагрузки, которая находится в равновесии с внутренними усилиями системы на каждом i -том шаге итерационной процедуры; R ⁽ⁱ⁾_E - матрица жесткости системы, составленная на i -том шагe итерационной процедуры по измененной геометрии узлов; - вектор перемещений и вектор приращений перемещений соответственно для i -го шага.

Процесс завершается, когда достигает пренебрежимо малого наперед заданного значения.

Качественный анализ устойчивости сложных структурных систем производится в процессе расчета по формулам (4.40) с помощью рядов устойчивости, членами которых на каждом шаге i итерационной процедуры являются ведущие диагональные элементы гауссовой формы матриц R.

Рис. 4.8. Схема жесткостной матрицы при решении системы линейных уравнений равновесия узлов с выделением подсистем

а - полная матрица; б - матрица после исключения внутренних узлов; в - запись матрицы в компактной форме (цифрами указаны номера подсистем)

РАСЧЕТ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ
СТРУКТУРНЫХ ПЛИТ

4.24. Расчет предварительно напряженных структурных плит принципиально не отличается от расчета ненапряженных плит. Влияние предварительного напряжения заменяется соответствующими силами и конструкция рассчитывается как ненапряженная по имеющимся программам расчета на ЭВМ.

Эти силы включают в себя усилия предварительного напряжения, потерь предварительного напряжения и самонапряжения в процессе нагружения. Определение усилий самонапряжения осуществляется расчетом конструкции методом сил, при этом за основную систему принимается ненапряженная конструкция, которая рассчитывается на действие внешней нагрузки и единичных сил с помощью существующих программ расчета на ЭВМ.

При расчете предварительно напряженных структурных плит рекомендуется учитывать наиболее неблагоприятные комбинации внешних нагрузок и других воздействий для характерных состояний, возникающих в процессе изготовления, транспортирования и монтажа конструкции с учетом выполнения предварительного напряжения.

Оптимальные решения рекомендуется находить либо вариантным проектированием, либо с использованием методов линейного программирования [6, 7, 8, 9].