Метод касательных

Предположим, что функция f(x) непрерывна и дифференцируема на рассматриваемом интервале и, кроме того, графическим или табличным методом определено начальное приближение к корню x₀ (рис. 2.1.).

В точке x₀ вычисляют значение f(x₀) и производную . Следующее
приближение к корню определяют в точке x₁, где касательная к функции f(x₀), проведенная в точке , пересекает ось абсцисс. Считая точку x₁ в качестве начальной, процесс продолжают до тех пор, пока не выполнится условие .

В общем виде для -го шага:

Рисунок 2.1. Метод Ньютона

Следует отметить, что метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость, если выполняется условие . В качестве х₀

выбирают тот конец отрезка [a,b],на котором знаки и совпадают. Если начальное приближение выбрано достаточно близко к корню, то метод Ньютона гарантирует высокую скорость сходимости: абсолютная точность решения 10^-5-10^-6 обычно достигается за 5-6 итераций. Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и ее производной.

Графически этот процесс означает замену на каждой итерации графика касательной к нему.

à ввод исходных данных

è Определение корня