Дослідження многочленів з дійсними коефіцієнтами

Розглянемо многочлен з дійсними коефіцієнтами:

де є R.

Теорема 1. Якщо для многочлена f(z) з дійсними коефіцієнтами число α є коренем многочлена f(z), то число комплексно-спряжене є також коренем цього многочлена.

Доведення. За умовою α -корінь многочлена f(z). Це означає, що

(1).

Потрібно довести, що

.

З рівності (1) випливає, що

.

Користуючись властивостями комплексно-спряжених чисел, отримаємо

Розглянемо довільне дійсне число β в множині комплексних чисел і знайдемо його комплексно-спряжене.

Отже, дійсне число дорівнює своєму комплексно-спряженому числу. Скористаємося цим:

Тоді -корінь.

Теорему доведено.

Теорема 2. Нехай задано многочлен з дійсними коефіцієнтами і його комплексний корінь кратності к, тоді число є коренем тієї ж кратності.

Доведення пропонується провести самостійно(від супротивного).