Поняття кореня многочлена

Нехай задано многочлен

Означення: Число називається коренем многочлена f(z),якщо f()=

= .

Теорема Безу: остача від ділення многочлена на многочлен спеціального вигляду (многочлен 1-го степеня з коефіцієнтом 1 при старшому степені) дорівнює -значенню многочлена при , тобто .

Доведення: застосуємо теорему про ділення многочлена з остачею до многочлена та Тоді існують ,причому

або степінь менша за степінь многочлена (1)

Якщо степінь ,то (числу),отже виконується

тобто .

Розглянемо при Z=C:

Наслідок: для того,щоб число було коренем многочлена f(z) необхідно і достатньо,щоб f(z) ділився на без остачі.

Доведення: необхідність.

Нехай корінь многочлена f(z),тобто f()=0.

? За теоремою Безу поділимо з остачею або без неї, тоді звідси випливає,що .Отже

без остачі.

Достатність пропонується провести самостійно.

Цей наслідок встановлює зв’язок між питанням знаходження коренів та теорією подільності.