Задачи и ее элементы. Классификация задач

Задача - это знаковая модель проблемной ситуации.

Можно сказать задача - это проблемная ситуация, требующая ее разрешения человеком.

В "Методике обучения математике в 1-3 кл." авторов М.И. Моро и А.И.Пышкало о задаче сказано следующее: "Задача - это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий".

Основная особенность задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должны быть выполнены над данными числами для получения искомого. Вместе с тем, текст задачи содержит некоторые указания на связь, существующую между данными числами и искомым. Эта связь определяет выбор нужных общих положений математики, а так же последовательность их выполнения.

В каждой задаче можно выделить:

1) условие (или условия);

2) требование.

Условие задачи включает в себя:

а) числовые значения величин, которые называются данными или известными (их должно быть не меньше двух);

б) некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);

В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.

Требование задачи - это вопрос, на который надо найти ответ. Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и повествовательной форме, их также может быть несколько.

Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин – искомыми или неизвестными.

Пример. Выделим условия и требования в задаче "Собака погналась за лисицей, которая была от нее на расстоянии 30 метров. Скачок собаки 2 м, скачок лисицы 1 м. В то время как лисица делает три скачка, собака делает только два скачка. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу? Какое расстояние пробежит собака?"

Условия задачи:

1. Собака бежит вдогонку за лисицей.

2. Первоначальное расстояние между собакой и лисицей 30 м.

3. Скачок собаки равен 2 м.

4. Скачок лисицы равен 1 м.

5. За то время как лисица делает три скачка, собака делает только два скачка.

6. Собака догнала лисицу.

Требования задачи:

1. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу?

2. Какое расстояние пробежит собака?

Часто под термином "условие задачи" понимают весь текст задачи, включающий истинно условие и требование задачи.

Ответ на требование задачи получается в результате ее решения.

Решить задачу в широком смысле этого слова - это значит раскрыть связи между данными и искомыми, заданные условием задачи, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т.п.), выполнить действия над данными задачи, используя найденные общие положения, и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его (требования) выполнения.

Термин "решение задачи" широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же неодинаковые понятия:

1) решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи;

2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, то есть вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до конца;

3) решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения, и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет и т.д. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать (т.е. разделить на группы по выбранному основанию):

- по количеству действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;

- по соответствию числа данных и искомых;

- по фабуле задачи;

- по способам решения и другие.

Положив в основание классификации количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой. Задачу, для решения которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной.

Пример 1.5. Саше 7 лет, он на 3 года старше сестры. Сколько лет сестре? Данная задача является простой.

Пример 1.6. Будем считать, что айсберг представляет собой прямоугольный параллелепипед. Известно, что его высота над водой равна 36 м, что составляет 1/6 часть всей его высоты. Ширина айсберга в 125 раз больше его высоты, но в 3 раза меньше его длины. Определите объем айсберга. Данная задача является составной.

2) Выбрав в качестве основания классификации соответствие числа данных и искомых задачи, выделяют задачи определенные, неопределенные и переопределенные. Чаще всего в задачах число условий (зависимостей между величинами) соответствует числу данных и искомых. Но встречаются задачи, в которых этого соответствия нет.

Определенные задачи - это задачи, в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа.

Пример 1.7. Два переплетчика должны переплести 384 книги. Один из них переплетал по 5 книг в день и переплел 160 книг. Сколько книг в день должен переплетать другой переплетчик, чтобы закончить работу в один день с первым?

В данной задаче число условий соответствует числу данных и искомых. Поэтому она имеет решение и является определенной.

Задачи с альтернативным условием - это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.

Пример 1.8. От одной пристани по реке одновременно отправляются два катера. Один движется со скоростью 17 км/ч, а второй - со скоростью 19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 2 часа, если скорость течения реки 2 км/ч?

В задаче неизвестно, в одном направлении или нет, отправляются катера. Если считать, что они отправились в одном направлении, получим один ответ, если - в противоположных - другой.

Пример 1.9. Сорок шесть школьников отправились в поход на десяти четырех- и шестиместных лодках. Сколько было тех и других лодок?"

В задаче нет данных о количестве свободных мест в лодках. Поэтому в зависимости от этих данных, мы будем получать разные решения.

Неопределенные задачи - задачи, в которых условий недостаточно для получения ответа.

Пример 1.11. На складе было 392 банки вишневого, малинового и клубничного варенья. Банок с вишневым вареньем было в 3 раза больше, чем малинового. Сколько весит вишневое варенье, если в каждой банке его 800 г?

В задаче недостаточное число данных (в ней нет данных о количестве банок с клубничным вареньем). Для того чтобы ее решить, необходимо дополнить условие.

Переопределенные задачи - задачи, в которых имеются лишние условия. Если в переопределенной задаче лишнее условие не противоречит остальным условиям, то она имеет решение.

Пример 1.12. В одной печи можно обжечь 39 000 кирпичей за 6 дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за 5 дней. За сколько дней можно обжечь 143 000 кирпичей, используя обе печи одновременно, если в первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй?

Задача имеет одно решение: используя обе печи одновременно, можно обжечь 143 000 кирпичей. Здесь условия "в одной печи можно обжечь 39000 кирпичей за 6 дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за 5 дней и "в первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй" не противоречат друг другу.

Иногда лишние условия задачи противоречивы.

Пример 1.13. Из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Спустя 3 часа из пункта В ему навстречу вышел другой поезд, скорость которого на 10 км/ч больше, чем у первого. Расстояние между пунктами 570 км. Сколько часов до встречи был в пути второй поезд, если его скорость в 1,5 раза больше скорости первого поезда?

В задаче одно условие лишнее. Причем условия "скорость второго поезда на 10 км/ч больше, чем у первого" и "скорость второго поезда в 1,5 раза больше скорости первого поезда" противоречат друг другу. Эта задача может иметь решение, если исключить одно из условий. Если исключить кратное отношение, то получим ответ: второй поезд был в пути 3 часа. Если же исключить разностное отношение, то получим другой ответ: второй поезд был в пути 2,6 часа.

Пример 1.14. На речном вокзале за три дня было продано 42 билета второго и третьего класса. Билетов второго класса было продано в 2 раза меньше, чем третьего. Сколько денег получил кассир за все проданные билеты, если билет второго класса стоил 120 рублей, а третьего на 30 рублей дешевле?

В задаче имеется лишнее условие (три дня), которое не используется при решении и не влияет на ответ.

В начальном курсе математики неопределенные задачи называют задачами с недостающими данными, а переопределенные - задачами с избыточными данными.

Различают задачи сюжетные, где описывается какая-то ситуация, и отвлеченные.

Пример.

1. Сумма разна 8. Одно слагаемое 5. Найти второе слагаемое.

Это задача отвлеченная.

2. На двух полках 8 книг. На одной полке 5 книг. Сколько книг на второй полке?

Это задача сюжетная.