Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием метода ЭйлераПростейшим численным методом решения задачи Коши в виде (1)-(2) является метод Эйлера, иногда называемый также методом ломаных Эйлера. Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке есть . Найдём ординату касательной, соответствующей абсциссе . Так как уравнение касательной к кривой в точке имеет вид , то . Угловой коэффициент в точке также находится из данного дифференциального уравнения . На следующем шаге получаем новую точку , причём . Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулы Эйлера для п приближённых значений решения задачи Коши с начальными данными на сетке отрезка с шагом h: .
Графической иллюстрацией приближённого решения является ломаная, соединяющая последовательно точки , которую называют ломаной Эйлера (см. рисунок). Оценим погрешность данного метода на одном шаге. Примем без вывода следующее утверждение: погрешность на одном шаге имеет порядок и после п шагов погрешность вычисления значения возрастает не более чем в п раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством или представить в виде , где . Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага h в 10 раз, погрешность тоже уменьшится примерно в 10 раз. Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке отрезка с шагом , в точке производят с помощью приближённого равенства – правила Рунге: , где р – порядок точности численного метода. (5) Таким образом, оценка полученного результата по формуле (5) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой – с шагом h /2.
Пример 1. Решить задачу Коши методом Эйлера на отрезке . Найти решение на равномерной сетке с шагом в четырёх узловых точках. Вычислить погрешность вычисления, сравнив его результат с точным значением (аналитическое решение задачи имеет вид ).
Решение. Здесь . На основе этих данных имеем, используя формулы (4), получаем рекуррентные формулы . Последовательно находим при ; при ; при ; при . Составим следующую таблицу:
Таким образом, погрешность для приближённых вычислений с шагом 0,1 составляет . Заметим, что если бы мы использовали формулы (5) (это целесообразно делать с применением специальных компьютерных программ), то величина достигает значения - ошибка метода Эйлера при вычислении с шагом при вычислении с шагом 0,05.
Задание.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка на равномерной сетке отрезка с шагом 0,2 методом Эйлера. Сравнить численное решение с точным значением. Результаты представить в виде таблиц, аналогичных приведённой в примере. 1) ; 2) ; 3) .
|