Гравитационный потенциал однородного шара

Гравитационный потенциал однородного шара во внешней точке ничем не отличается от потенциала шара, со сферически симметричным распределением массы, поэтому мы этот случай рассматривать не будем. Гравитационный потенциал однородного шара во внутренней точке может быть вычислен по формуле (3.9), в которой нужно положить плотность постоянной величине. Имеем

следовательно

(3.11)

В центре шара () -- значение, совпадающее с приведенным значением в формуле (3.10). На его поверхности .

Определим силу притяжения во внутренней точке:

(3.12)

Таким образом: сила притяжения внутренней материальной точки со стороны масс сферического тела линейно растет по абсолютной величине с расстоянием от центра шара и направлена к его центру. Другими словами, закон Ньютона, или, как еще его называют, закон обратных квадратов, превращается в закон Гука -- закон прямой пропорциональности "упругой" силы от величины отклонения тела от положения равновесия.

Нужно отметить, что если равномерно распределенная притягивающая масса занимает объем, ограниченный эллипсоидальной поверхностью, то и в этом случае вместо закона Ньютона следует брать закон Гука.

Покажем теперь, что во внутренней точке гравитационный потенциал подчиняется закону Пуассона: , где -- плотность вещества в точке .

Будем считать, что мы имеем дело с произвольным телом, ограниченным замкнутой поверхностью . Выделим внутри него фиксированную точку и окружим ее сферой с очень маленьким радиусом, с тем, чтобы плотность малой сферы считать постоянной величиной. Пусть -- потенциал всех масс тела в точке за исключением малой сферы, -- потенциал малой сферы, тогда . Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, так как точка является внешней по отношению к рассматриваемой области, а для потенциала во внутренней точке однородного малого шара мы получили

где -- радиус малой сферы. Определим оператор Лапласа для гравитационного потенциала в точке . Учитывая сказанное выше, будем иметь

Поскольку , то , следовательно , а это и есть уравнение Пуассона.

При переходе точки через поверхность, где плотность изменяется скачком, изменится скачкообразно и правая часть уравнения Пуассона, левая часть которого представляет собой сумму вторых производных. Отсюда следует и разрыв непрерывности вторых производных гравитационного потенциала.

Гравитационное поле планеты

Все планеты Солнечной системы имеют форму, близкую к сферической. Поэтому, гравитационное поле шара можно рассматривать, как первое приближение к гравитационному полю планеты. Во втором приближении можно учесть тот факт, что некоторые планеты, в том числе и Земля, гораздо лучше могут быть представлены эллипсоидом вращения, чем шаром. В третьем приближении мы можем учесть и некоторые особенности в распределении масс внутри планеты и т.д. Короче говоря, гравитационное поле планеты обычно представляют рядом по шаровым функциям. В зависимости от решаемой задачи, предъявляются разные требования к детальности исходных данных, к числу членов разложения и к числу исходных параметров.

Итак, будем считать, что наша фиксированная точка , в которой нам необходимо получить гравитационный потенциал планеты, -- внешняя. Снова, как и в приведенных выше формулах, будем считать, что вектор определяет координаты фиксированной точки , а абсолютная величина этого вектора -- расстояние точки от начала координат. Радиус-вектор элемента массы мы снова будем обозначать буквой . Расстояние между фиксированной точкой и элементом массы -- буквой . Интегрирование по объему тела планеты мы будем помечать нижним пределом . Запишем гравитационный потенциал планеты в виде интеграла

(3.13)

Поскольку точка лежит вне планеты и, как правило, достаточно далеко от нее удалена, то подынтегральное выражение можно разложить в ряд по степеням отношения . Мы тут же столкнемся с так называемыми полиномами Лежандра, на некоторых сведениях о их свойствах необходимо остановиться.

Функцией, производящей полиномы Лежандра, называется функция

где -- полиномы Лежандра степени . Вот несколько первых полиномов Лежандра:

Каждый следующий полином можно вычислить, пользуясь рекуррентной формулой

Существует и общая формула для полиномов Лежандра. Это так называемая формула Родрига

Вернемся снова к нашему интегралу (3.13). Вынесем из под корня величину , получим

Под знак интеграла теперь входит производящая функция полиномов Лежандра. Разлагая подынтегральное выражение в степенной ряд относительно отношения , будем иметь

(3.14)

Представим полученное разложение в виде

где

(3.15)

Полученный ряд называют рядом Лапласа, а соответствующие функции -- функциями Лапласа. Используется и другая терминология. Функции Лапласа могут быть определены через гармонические (удовлетворяющие уравнению Лапласа) однородны полиномы, которые носят название шаровых функций. Поэтому ряд (3.14) после выполнения указанного интегрирования, называют разложением гравитационного потенциала в ряд по шаровым функциям.

Определим первые три функции Лапласа. Чтобы выполнить интегрирование, нам нужно выбрать системы координат. Допустим, что точка -- начало декартовой системы координат. Направления осей, в принципе, не имеют значения. Координаты фиксированной точки мы будем обозначать через , а для элемента массы -- координаты , , . Таким образом вектор , а радиус-вектор элемента массы есть .

Первый член разложения.

Согласно формуле (3.15), имеем

(3.16)

Полученная шаровая функция дает лишь массу планеты. Если ограничиваться только первым членом разложения, то это равносильно тому, что планета отождествляется с шаром со сферически симметрично распределенными массами или с материальной точкой.

Второй член разложения

Следующая шаровая функция имеет вид . Поскольку , будем иметь . Подынтегральное выражение есть не что иное, как скалярное произведение двух векторов и : , поэтому

Из теоретической механики известно, что последний интеграл определяет радиус-вектор центра масс:

Следовательно, линейная шаровая функция выглядит следующим образом

(3.17)

В астрономических приложениях этот член разложения часто не принимают во внимание: предполагают, что начало системы координат выбрано точно в центре масс. Однако, более детальный анализ гравитационных полей планет иногда приводит к выводу о смещении центра масс по отношении к геометрическому центру объема планеты.

Третий член разложения

Для получим .

Заметим, что . Поэтому

После необходимых преобразований, полученную формулу можно привести к виду

(3.18)

где использованы следующие обозначения:

(3.19)

а -- момент инерции планеты относительно оси, проведенной через начало координат и точку . Определим направляющие косинусы точки : , , .

Как следует из теоретической механики,

(3.20)

Таким образом, шаровая функция нулевой степени есть масса планеты (момент инерции нулевого порядка), первой степени определяется через координаты центра масс (момент инерции первого порядка) шаровая функция второй степени определяется через моменты инерции второго порядка. Продолжая рассуждения, мы убедимся в том, с увеличением степени шаровой функции, увеличивается и порядок моментов инерции планеты, через которые эти шаровые функции определяются. Поэтому говорят, что члены разложения гравитационного потенциала высокого порядка определяются через мультипольные моменты ее массы.

В задачах небесной механики часто используются следующие упрощения представления гравитационного потенциала, в предположении, что

--

начало координат совпадает с центром масс,

--

направления осей параллельны главным осям инерции,

--

фигура планеты -- тело вращения.

При этих предположениях координаты центра масс и произведения инерции равны нулю, а . Выберем декартову систему координат следующим образом: ось Oz совпадает с осью вращения фигуры, а оси Ox и Oy лежат в экваториальной плоскости. Тогда

Однако, , поэтому . Подставляя это выражение в формулу для шаровой функции второй степени, получим

Как мы видели, величина равна косинусу угла между осью вращения планеты и направлением на точку . Обозначим этот угол греческой буквой , таким образом , . По определению полиномов Лежандра, имеем

поэтому

Если ограничиться только этими членами разложения, то гравитационный потенциал планеты можно записать в виде

(3.21)

Формула (3.21) показывает, что напряженность гравитационного поля в точке зависит не только от сферических координат этой точки: расстояния и полярного расстояния (или широты) , но и от отличия моментов инерции около полярной и экваториальных осей. В качестве фундаментальной постоянной поля планеты берут не разность , которая зависит от массы и размеров планеты, а безразмерную величину . Теперь вместо формулы (3.21) можно записать

(3.22)

Принимая во внимание другие члены разложения потенциала, но сохраняя главное условие -- внутреннее строение планеты соответствует телу вращения -- мы можем получить формулу для гравитационного потенциала, содержащую полиномы Лежандра более высоких степеней

(3.23)

Коэффициенты разложения и относятся к фундаментальным постоянным астрономии.

В качестве характеристики планеты используют также безразмерный момент инерции, который определяется следующим образом . Эта величина малая, если почти вся масса планеты сосредоточена в ее центре, она равна 0.4, если планета -- однородный шар. Реально 0.0 < < 0.4. Любопытно, что американский ученый Экхард для Луны определил > 0.4, что означает Луна внутри пустая! Более поздние определения безразмерного момента инерции Луны установили, что он равен 0.391, что указывает на ее однородность, но никаких противоречий с установившимися взглядами на строение планет нет. Еще одна фундаментальная постоянная, также связанная с моментами инерции, -- постоянная прецессии играет важную роль в теории вращения планеты.

В заключении раздела приведем численные значения фундаментальных постоянных для некоторых планет и Луны.

Table 3.1. Фундаментальные постоянные планет
Планеты	, км
Земля		0,332	0.001082645
Меркурий
Венера		0,332	0,00000597
Марс		0,377	0,0008746
Юпитер		0,200	0,022060
Сатурн		0,220	0,025010
Уран		0,230
Нептун		0,290
Плутон
Луна		0,391	0,00009152

Реально гравитационное поле во внешнем пространстве зависит не только от полярного расстояния или широты точки , но и от ее долготы -- от угла между плоскостью меридиана, в которой лежит точка , и плоскостью нулевого меридиана. Для Земли -- это гринвичский меридиан. Пусть -- широта, а -- долгота точки . Учитывая, что , в приведенных формулах функцию , которая входит в качестве аргумента для полиномов Лежандра, мы должны заменить на . Не останавливаясь подробно на выводе формулы разложения гравитационного потенциала в ряд по шаровым функциям, приведем готовый результат

(3.24)

Функции и называются сферическими, так как значения их зависят только от положения точки на сфере (заданы широта и долгота). Параметры и соответственно называются степенью и порядком отдельной сферической гармоники. Функция называется присоединенной (ассоциативной) функцией Лежандра. Она определяется через полиномы Лежандра следующим образом

(3.25)

Обратим внимание на внутреннюю сумму в формуле (3.24). Ее верхний предел равен , так как при порядок производной в формуле (3.25) будет больше степени полинома и все соответствующие члены будут равны нулю.

Гармоники называются зональными, если их значения изменяются только с широтой. Это будет иметь место при =0. Внутри одной зоны, отделенной от других с севера и с юга параллелями, зональная гармоника сохраняет свой знак.

Гармоники называются секториальными, если их знак может изменяться только с долготой. Это имеет место при . Присоединенная функция Лежандра, при этом, равна

Поскольку косинус широты не меняет знака, то внутри одного сектора не изменяет знака и сферическая гармоника. Шар оказывается расчлененным на сектора -- полосы, которые соединяют северный и южный полюса.

Гармоники, для которых на поверхности шара образуют мозаичную картину, подобно шахматной доске и называются тессеральными от латинского tessera- мозаичный кубик. Секториальные и тессеральные гармоники при вращении планеты создают во внешнем пространстве переменное во времени гравитационное поле, что значительно осложняют теорию движения искусственных и естественных спутников планеты.

Определение массы планеты

Первый член разложения гравитационного потенциала имеет вид . Если бы другие члены разложения не оказывали никакого действия на движение спутников, или, хотя бы возмущения от них были за пределами точности наблюдения, движение спутника подчинялось бы закону Кеплера.

Пусть -- масса планеты, которую нужно определить, -- масса спутника. Под действием сил притяжения, подчиняющихся закону обратных квадратов, оба небесных тела движутся по эллиптическим орбитам, в фокусе каждой из них расположен центр масс системы (барицентр). В частном случае -- это могут быть и круговые орбиты. Для упрощения вопроса именно этот случай мы и будем рассматривать. Пусть -- расстояние спутника от планеты, -- расстояние спутника от барицентра, тогда . Двигаясь по круговой орбите, спутник имеет ускорение, равное , где , а -- период обращения спутника. Отсюда При выражение в скобках можно не отличать от единицы и формулу для определения массы планеты переписать в следующем виде

(3.26)

Полученная формула есть не что иное, как третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет, относятся так же, как кубы их расстояний до центрального тела (Солнца).

Правда, формулу (3.26) мы получили для частного случая кругового движения, хотя в небесной механике доказано, что она справедлива и для эллиптического движения. В этом случае под нужно понимать большую полуось эллиптической орбиты.

Формула (3.26) дает возможность определить массу планеты только в том случае, когда гравитационная постоянная нам известна. Ее определяют с помощью физического эксперимента. К сожалению, точность этих экспериментов пока еще не достаточно высока, хотя со времени Кавендиша -- английского ученого, который одним из первых определил гравитационную постоянную, точность ее определения выросла на два порядка за 150 лет. Сейчас принято СИ. Произведения гравитационной постоянной на массу определяются значительно точнее. Например, для Земли эта величина равна , то есть относительная погрешность равна , тогда как относительная погрешность гравитационной постоянной составляет приблизительно . В качестве фундаментальных постоянных часто рассматривают именно произведения масс на гравитационную постоянную, которые называют планетоцентрическими гравитационными постоянными (геоцентрическая, селеноцентрическая, ареоцентрическая и т.д.)