Логические следствия

Определение 1. Формула B называется логическим следствием формул A₁, A₂, …, A_n, если при любых значениях, входящих в них, элементарных высказываний формула B принимает значение истинно всякий раз, когда формулы A₁, A₂, …, A_n принимают значение истинно. Обозначается A₁, A₂, …, A_n ╞ B

Из определения логического следования вытекает:

1. Тавтология логически следует из любой формулы.

2. Из противоречия логически следует любая формула.

Теорема 1. Из A логически следует B тогда и только тогда, когда тавтологией является A B.

Теорема 2. A₁, A₂,…, A_n╞ B тогда и только тогда, когда является тавтологией

A₁&A₂& …& A_n B.

Теорема 3. Из формул A₁, A₂,…, A_n, B логически следует C тогда и только тогда, когда из формул A₁, A₂, …, A_n логически следует B C.

Следствие 1. Из A и B логически следует C тогда и только тогда, когда тавтологией является

A (B C).

Следствие 2. Из формул A₁, A₂, …, A_n логически следует B тогда и только тогда, когда тавтологией является

A₁ (A₂ … (A_n B)…).

Отношение логического следования играет в математике большую роль.

Если из A╞B, то A называется достаточным условием для B, а B – необходимым условием для A.

Если вместе с A╞B из B╞A, то A называется необходимым и достаточным условием для B, а B – необходимым и достаточным условием для A.