Пример 6.1

Построить эпюры Q_y и M_z для балки, изображенной на рис. 11.

Решение. Проводим сечение на расстоянии х от свободного конца балки и рассматриваем левую отсеченную часть (рис. 11). К этой части приложена равномерно распределенная нагрузка с результирующей си­лой q_х, приложенной всегда в середине рассматриваемого участка дей­ствия. Нагрузка стремится повернуть отсеченную часть против часовой стрелки, следовательно Q_у = - q х. Мысленно защемляя оставленную часть балки в сечении К, за­ключаем, что нагрузка q изгибает ее выпуклостью вверх, т.е. изгибаю­щий момент отрицателен

М_z = -qх×x /2 = -qх ²/2.

Таким образом, поперечная сила изменяется вдоль балки по ли­нейному закону, а изгибающий момент - по квадратичному. Это под­тверждает правило 2из п. 5.

Для построения эпюры Q_у достаточно найти ее ординаты в двух сечениях:

в начале балки при х = 0: Q_у = 0,

в заделке при х = l: Q_у = - ql (рис. 11).

Для построения эпюры М_z следует определить три-четыре ее ор­динаты.

При х = 0: М_z = 0; При х = l /2; М_z = - q (l /2)²/2 = -q l ²/8;

При х = l: М_z = - q l ² /2 (рис. 11).

В дальнейшем при построении эпюры М_z на участках, где она из­меняется по квадратичному закону, можно использовать правило 2 без вычисления промежуточных значений.

При построении эпюр для балок, защемленных одним концом, ре­комендуется двигаться со свободного конца балок, т. е. оставлять часть балки, примыкающую к свободному концу; если оставить часть балки с заделкой, то предварительно (до применения метода сечений) следует определить реакции заделки. В этом нет необходимости, так как при движении со свободного конца значение реакций получается «автоматически»: Q_у и М_z в сечении заделки равны соответственно реактивной силе и реактивному моменту; в нашем случае :

M_А= ql ²/2; R_А = ql (см. рис. 11).

Построение эпюр по характерным точкам с использованием пра­вил, изложенных в п. 5, производится без записи аналитических выраже­ний для Q_у и М_z. Вычислим значения Q_у и М_z в характерных точках, а в данном примере это начало и конец балки, и соединим полученные - ординаты соответствующей линией.

На свободном конце Q_у = 0, М_z = 0, так как здесь к балке не при­ложено сосредоточенных сил и моментов (правило 8 из п. 5). На правом конце (в заделке) поперечная сила должна быть равна сумме сил, при­ложенных к балке слева от этого сечения: Q_у = - ql. Соединяем полу­ченные ординаты прямой наклонной линией (правило 2 из п. 5). Скачокна эпюре Q_у - в заделке, он направлен вверх и равен | Q_у | = ql следова тельно здесь действует направленная вверх реакция заделки R_А = ql.

Изгибающий момент в заделке M_А= ql ²/2.

Момент изменяется по квадратичному закону с выпуклостью па­раболы вверх (правило 2 из п. 5). Касательная к параболе на свободном конце горизонтальна, так как в этом сечении Q_y = dM_z/dx = 0. Соединяя эти ординаты параболой, получаем эпюру М_z. На этой эпюре скачок в заделке, он равен по величине моменту в заделке M_А= ql ²/2 и направле­ние скачка соответствует направлению момента (см. рис. 11).