Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

где т — масса точки; r — расстояние ее от оси вращения;

б) дискретного твердого тела

где — масса i-го элемента тела; r _i — расстояние этого элемента от оси вращения; п — число элементов тела;

в) сплошного твердого тела

Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объему, то

dm= dV и

где V — объем тела.

• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

• Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

J=J ₀ +ma²,

где J ₀ — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстояние между осями; m — масса тела.

• Момент импульса вращающегося тела относительно оси

L=J .

• Закон сохранения момента импульса

где L _i — момент импульса i-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

где — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: — те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,

где — начальный и конечный моменты инерции; —• начальная и конечная угловые скорости тела.

• Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

M d t =d(J ), где М — момент силы, действующей на тело в течение времени dt;

J — момент инерции тела; — угловая скорость; J — момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

М t = J .

В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид

M = J , где — угловое ускорение.

• Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,

A=Mj,

где j — угол поворота тела.

• Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

N=M .

• Кинетическая энергия вращающегося тела

T=1/2J .

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

T==¹/ ₂mv² +^l/₂ J ,

где ^l/₂mv² — кинетическая энергия поступательного движения тела; v — скорость центра инерции тела; ^l/₂ J ,— кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

• Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением

.

• Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.

Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:

Поступательное движение Вращательное движение

Основной закон динамики

F t=mv₂—mv₁; M t=J —J ;

F = та М =.J

Закон сохранения

импульса момента импульса

Работа и мощность

A=Fs; А=М ,

N=Fv N=M

Кинетическая энергия

Т =1/2 mv² T=1/2J

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить момент инерции J_z молекулы NО₂ относительно оси z, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы равно 0,118 нм, валентный угол =140°.

Решение. Молекулу NO₂ можно рассматривать как систему, состоящую из трех материальных точек общей массой

m =2 m ₁+ m ₂, (1)

где m ₁ — масса атома кислорода; m ₂— масса атома азота.

Расположим молекулу относительно координатных осей так, как это указано на рис. 3.1 (начало координат совместим с центром

масс С молекулы, ось z направим перпендикулярно плоскости чертежа «к нам».)

Для определения J_z воспользуемся теоремой Штейнера:

J=J _c+ m a².

Для данного случая эта теорема запишется в виде J_z' = J_z + m a², где J_z' — момент инерции относительно оси z', параллельной оси z и проходящей через атом азота (точка О на рис. 3.1). Отсюда искомый момент инерции

J_z = J_z' - m a² (2)

Момент инерции J_z' находим как сумму моментов инерции двух материальных точек (атомов кислорода):

J_z' = 2m₁ d² (3)

Расстояние а между осями z и z ' равно координате x_с центра масс системы и поэтому может быть выражено по формуле (см. § 2, с. 20) В данном случае

а= х _с= (2 m ₁ x ₁+ m ₂ x ₂)/(2 m ₁+ m ₂), или, учитывая, что x ₁= d cos ( /2) и х ₂ =0,

(4)

Подставив в формулу (2) значения J_z', т, а соответственно из выражений (3), (1), (4), получим

или после преобразований

(5)

Найдем в табл. 23 относительные атомные массы кислорода (A _O=16) и азота (А _N==14) и запишем массы атомов этих элементов в атомных единицах массы (а.е.м.), а затем выразим в килограммах (1 а.е.м. =1,66 •10^-27 кг, см. табл. 9):

m ₁= 16 1,66 10^-27 кг=2,66 10^-26 кг;

m ₂ = 14 1,66 10^-27 кг = 2,32 10^-26 кг.

Значения m ₁, т ₁, d и подставим * в формулу (5) и произведем вычисления:

J_z =6,80 10^-46 кг.м².

Пример 2. Физический маятник представляет собой стержень длиной l =1 м и массой m ₁=l кг с прикрепленным к одному из его

*Для вычисления выражения, стоящего в скобках, вместо масс атомов можно подставить их относительные атомные массы, так как здесь массы входят в виде отношения.

концов диском массой т ₂ =0,5 m ₁. Определить момент инерции J _z такого маятника относительно оси Оz, проходящей через точку О на стержне перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 3.2).

Решение. Общий момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J_z1 и диска J_z2.

J_z ⁼ J_z1 + J_z2 (1)

Формулы, по которым вычисляются моменты инерции стержня J_z1 и диска J_z2 относительно осей, проходящих через их центры масс, даны в табл. на с. 41. Чтобы определить моменты инерции J_z1 и J_z2, надо воспользоваться теоремой Штейнера:

J=J_c+ma². (2)

Выразим момент инерции стержня согласно формуле (2):

J_z1=^l/₁₂m₁l²+m₁a₁².

Расстояние a ₁ между осью О_z и параллельной ей осью, проходящей через центр масс C₁ стержня, как следует из рис. 3.2, равно ¹/₂ l— ^l/₃ l= ^l/₆ l. С учетом этого запишем

J_{z 1} = ^l/₁₂ m ₁ l ²+ m ₁ (^l/₆ l)²=¹/₉ m ₁ l ²=0,111 m ₁ l ².

Момент инерции диска в соответствии с формулой (2) равен рис. 3.2

J_{z 2}=^l/₂ m ₂ R ²+ m ₂ a ₂².

где R — радиус диска; R= ¹/₄ l. Расстояние а ₂ между осью О_z и параллельной ей осью, проходящей через центр масс диска, равно (рис. 3.2) ²/₃ l— ^l/₄ l= ^l1/₁₂ l. С учетом этого запишем

J_{z 2}=^l/₂ m ₂ (¹/₄ l)²+ m ₂(^l1/₁₂ l)²= 0,0312 m ₁ l ² + 0,840 m ₁ l ²= 0,871 m ₁ l ².

Подставив полученные выражения J_z1 и J_z2 в формулу (1), найдем

J_z= 0,111 m ₁ l ²+0,871 m ₁ l ²=)0,111 m ₁+0,871 m ₁) l ²,

или, учитывая, что т ₂ =0,5 m ₁,

J_z= 0,547 m ₁ l ².

Произведя вычисления, получим значение момента инерции физического маятника относительно оси О_z:

J_z =0,547.1.1 кг м²=0,547 кг м².

Пример 3. Вал в виде сплошного цилиндра массой m ₁ = 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m ₂=2 кг (рис. 3.3). С каким ускорением а будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

Решение. Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности,

и связано с угловым ускорением s вала соотношением

а= , (1)

где r — радиус вала.

Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:

=M/ J, (2)

где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инерции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен

J= ¹/₂ m ₁ r ².

Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения Т шнура на радиус вала: М=Тr.

Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести m ₂ g, направленная вниз, и сила натяжения Т шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное дви­жение гири. По второму закону Ньютона, m ₂g- T=m₂a, откуда T=m₂(g-а). Таким образом, вращающий момент M=m ₂ (g—а)r.

Подставив в формулу (2) полученные выражения М и J, найдем угловое ускорение вала:

Для определения линейного ускорения гири подставим это

рис. 3.3 выражение в формулу (1). Получим

,

откуда

Пример 4. Через блок в виде диска, имеющий массу m =80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m ₁=100 г и m ₂=200 г (рис. 3.4). С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.

Решение. Применим к решению задачи основные законы поступательного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести mg, направленная вниз, и сила Т натяжения нити, направленная вверх.

Так как вектор ускорения а груза m ₁ направлен вверх, то T ₁>m₁g. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение и, по второму закону Ньютона, равна T ₁ — т ₁ g=т ₁ а, откуда

T ₁ =m ₁ g+m ₁ a. (1)

Вектор ускорения а груза т ₂ направлен вниз; следовательно, T ₂< m ₂ g. Запишем формулу второго закона для этого груза:

m ₂g — T ₂ =m₂a, откуда

T ₂ =m₂g- m₂а. (2)

Согласно основному закону динамики вращательного движе­ния, вращающий момент М, приложенный к диску,равен произведению момента инерции J диска на его угловое ускорение :

M=J . (3)

Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона, силы и , приложенные к ободу диска, равны соответственно силам T ₁ и Т ₂, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке; следовательно, > . Вращающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, т. е. M=( - ) r. Момент инерции диска J=mr ² /l, угловое ускоре­ние связано с линейным ускорением грузов соот­ношением S =a/r. Подставив в формулу (3) выраже­ния М, J и , получим

( - ) r = .

откуда

- =(т/2)а.

Так как =T ₁ и = Т ₂, то можно заменить силы и вы­ражениями по формулам (1) и (2), тогда

m ₂ g—m ₂ a—m ₁ g—m ₁ =(m/2)a, или

(m ₂ —m ₁ ) g=(m ₂+ m ₁+ m /2) a

откуда

(4)

Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому значения масс m ₁, m ₂ и m можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. После подстановки

получим

Пример 5. Маховик в виде диска массой m =50 кг и радиусом г=20 см был раскручен до частоты вращения n₁=480 мин"¹ и за­тем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остано­вился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для

двух случаев: 1) маховик остановился через t =50 с; 2) маховик до полной остановки сделал N=200 оборотов.

Решение. 1.По второму закону динамики вращательного движения, изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время дей­ствия этого момента:

M t=J — J ,

где J — момент инерции маховика; и — начальная и конеч­ная угловые скорости. Так как =0 и t = t, то Mt=—J , от­куда

M= —J /t. (1)

Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен J=¹/₂mr². Подставив это выражение в формулу (1), найдем

M=—mr² /(2t). (2)

Выразив угловую скорость через частоту вращения n ₁ и произведя вычисления по формуле (2), найдем

М= —1 Н м.

2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных махови­ком до остановки, т. е. его угловое перемещение. Поэтому приме­ним формулу, выражающую связь работы с изменением кинетиче­ской энергии:

или, учтя, что ,

. (3)

Работа при вращательном движении определяется по формуле A=Mj. Подставив выражения работы и момента инерции диска в формулу (3), получим

M = —mr² /4.

Отсюда момент силы трения

М= —mr² /4 . (4)

Угол поворота j=2лN=2 3,14 200 рад=1256 рад. Произведя вычисления по формуле (4), получим

М= —1 Н м.

Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

Пример 6. Платформа в виде диска радиусом R= 1,5 м и массой m ₁ = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с часто­той n=10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой т ₂=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. По закону сохранения момента импульса,

(1)

где J ₁ — момент инерции платформы; J ₂ — момент инерции че­ловека, стоящего в центре платформы; — угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре; J₂' — момент инерции

человека, стоящего на краю платформы; — угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением

. (2)

Определив из уравнения (1) и подставив полученное выражение в формулу (2), будем иметь

v=(J ₁ +J ₂ ) R/(J ₁ +J' ₂ ). (3)

Момент инерции платформы рассчитываем как для диска; сле­довательно, J ₁= ¹1₂m ₁ R² • Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому J ₂=0, J' ₂ =m ₂ R ². Угловая скорость платформы до перехода человека равна .

Заменив в формуле (3) величины J ₁, J ₂, J' ₂. и их выражениями, получим

Сделав подстановку значений т ₁, т ₂, п, R и , найдем линей­ную скорость человека:

Пример 7. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n ₁=0,5 c^-1. Момент инерции j_o тела человека относи-

Рис. 3.5

тельно оси вращения равен 1,6 кг м². В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m =2 кг каждая. Расстояние между гирями l ₁=l,6 м. Опре­делить частоту вращения n ₂, скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l ₂ между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.

Решение. Человек, держащий гири (рис. 3.5), составляет

вместе со скамьей замкнутую механическую систему *, поэтому момент импульса J этой системы должен иметь постоянное значе­ние. Следовательно, для данного случая

J₁ = J₂ ,

где J и — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с вытянутыми руками; J ₂ и — момент инер­ции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с опу­щенными руками. Отсюда

= (J ₁/ J ₂) .

Выразив в этом уравнении угловые скорости и через частоты вращения n₁ и n₂( =2 n) и сократив на 2 , получим

n₂=(J₁/J₂)n₁. (1)

Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека J₀ и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше рас­стояния их от оси вращения, то момент инерции гирь можно опре­делить по формуле момента инерции материальной точки: J=mr². Следовательно **,

J ₁= J ₀+2 m (l ₁/2)²;

где т — масса каждой из гирь; l ₁ и l ₂. — первоначальное и конеч­ное расстояние между гирями. Подставив выражения J ₁ и J ₂ в уравнение (1), полу­чим

(2)

Выполнив вычисления по формуле (2), найдем

n ₂==1,18 с^-1.

Пример 8. Стержень длиной l =1,5 м и массой М= 10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верх­ний конец стержня (рис. 3.6). В середину стержня ударяет пуля массой m =10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью v _o=500 м/с, и

Рис. 3.6 застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и нуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.

Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежу-

* Предполагается, что моменты всех внешних сил (сил тяжести и сил реакции), действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются уравновешенными. Трением пренебречь.

** В действительности с изменением положения рук человека (без гирь) изменяется момент инерции его тела относительно оси вращения, однако ввиду сложности учета этого изменения будем считать момент инерции J _о тела человека постоянным.

ток времени приводит его в движение с угловой скоростью и сообщает ему кинетическую энергию

(1)
где — момент инерции стержня относительно оси вращения.

Затем стержень поворачивается на искомый угол , причем
центр масс его поднимается на высоту . В от-­
клоненном положении стержень будет обладать потенциальной
энергией

(2)
Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

Отсюда

Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня , получим

(3)

Чтобы из выражения (3) найти , необходимо предварительно
определить значение . В момент удара на пулю и на стержень
действуют силы тяжести, линии действия которых проходят через
ось вращения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил
относительно оси вращения равны нулю. Поэтому при ударе пули
о стержень будет справедлив закон сохранения момента импульса.
В начальный момент удара угловая скорость стержня =0,
поэтому его момент импульса . Пуля коснулась стержня
и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение
и участвуя во вращении стержня около оси. Начальный момент
импульса пули , где — расстояние точки попадания от
оси вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую
скорость , а пуля — линейную скорость , равную линейной
скорости точек стержня, находящихся на расстоянии т от оси вращения. Так как , то конечный момент импульса пули