Модели ядер

1. А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s,j>_n = |1,¹/₂,³/₂>, |l,s,j>_p = |1,¹/₂,³/₂>. Какие значения может иметь полный момент системы j?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях |l,s,j>₁ = |1,¹/₂,³/₂> и |l,s,j>₂ = |1,¹/₂,³/₂>. Какие значения может иметь полный момент системы j?

В случае А нейтрон и протон не являются тождественными частицами, поэтому полный момент системы | j₁ – j₂ | < j < j₁ + j₂, то есть j = 0, 1, 2, 3.
В случае Б значения j = 1, 3 запрещены принципом Паули, т.к. в этом случае тождественные частицы будут иметь одинаковый набор квантовых чисел l, s, j, j_z, что недопустимо. Поэтому j = 0, 2.
Поясним сказанное. В таблице представлены возможные значения суммарной проекции полного момента j двух фермионов с j₁ = j₂ = ³/₂ на ось Z, то есть значения j_z = (j₁)_z + (j₂)_z.

	-3/2	-1/2	1/2	3/2
-3/2	-3	-2	-1
-1/2	-2	-1
1/2	-1
3/2

Если фермионы тождественны, то они не могут иметь одинаковые наборы n, l, j, j_z. Поэтому необходимо исключить все наборы j_z = (j₁)_z + (j₂)_z, находящиеся на диагонали таблицы. Кроме того, два состояния, различающиеся обменом (j₁)_z и (j₂)_z, являются одним и тем же состоянием. Поэтому можно исключить j_z, находящиеся ниже диагонали. Итак, приходим к следующей таблице

	-3/2	-1/2	1/2	3/2
-3/2		-2	-1
-1/2
1/2
3/2

Набор j_z = -2, -1, 0, 1, 2 соответствует j = 2. Оставшееся значение j_z = 0 соответствует j = 0. Таким образом, для тождественных фермионов остаются j = 0 и 2.

2. Сравнив экспериментально измеренное значение магнитного момента дейтрона =0.86 _N с магнитным моментом системы нейтрон-протон в состоянии с j = 1 и относительным орбитальным моментом L = 0 (S₁-состояние), оценить вклад компоненты с j = 1 и L = 2 (D₁-состояние) в волновую функцию дейтрона.

Магнитные моменты ядер измеряются в ядерных магнетонах. Ядерный магнетон

N = e /2mpc,

где m_p - масса протона.
Магнитный дипольный момент системы нуклонов , где - орбитальный момент нуклона, - его спин, а сумма берется по всем нуклонам системы. Безразмерные константы g_l и g_s называются соответственно орбитальным и спиновым гиромагнитными отношениями.

Состояние дейтрона с j = 1 может быть представлено суперпозицией S₁ и D₁ состояний с относительными орбитальными моментами L = 0 и L = 2. В случае L = 0 спины протона и нейтрона параллельны, а в случае L = 2 их векторы направлены противоположно вектору орбитального момента. В этом последнем случае орбитальный момент каждого нуклона l = ^L/₂ = 1 (см. рисунок).

Случай L = 0 (ln = lp = 0): = N(1 0 + 0 0 + 5.586 1/2 - 3.862 1/2) = 0,88 mN .
Случай L = 2 (ln = lp = 1): = N(1 1 + 0 1 – 5.586 1/2 + 3.862 1/2) = 0,12 N.

Обозначим вклад состояния с L = 2 как X. Тогда X 0,12 _N + (1 – X) 0,88 _N = 0,86 _N. Получаем X = 0.026. То есть вклад состояния с L = 2 в волновую функцию дейтрона составляет 2,6%.

3. Известно, что внутренний электрический квадрупольный момент Q₀ ядра ¹⁷⁵Lu равен +5.9 Фм². Какую форму имеет это ядро? Чему равен параметр деформации этого ядра?

Для равномерно заряженного аксиально симметричного эллипсоида, имеющего заряд Ze Q₀ = 2Z(b² - a²)/5, где b - полуось эллипсоида, направленная по оси симметрии Z, a a - по осям X и Y. Параметр деформации ядра

,

где = (b + a)/2 - средний радиус ядра. Тогда

.

Здесь учтено, что при малых деформациях R = r₀A^1/3. Так как Q₀ > 0, то b > a, и ядро представляет из себя эллипсоид вытянутый вдоль оси симметрии Z.

4. Внешний наблюдаемый квадрупольный момент ядра ⁸⁵Rb Q = 0.7 б. Определить собственный квадрупольный момент ядра Q₀, если спин ядра ⁸⁵Rb равен J = ⁵/₂.

Внешний наблюдаемый электрический квадрупольный момент ядра в лабораторной системе координат Q связан с собственным квадрупольным моментом ядра Q₀ соотношением

где J - спин ядра. Отсюда

5. Определить значения изоспинов I основных состояний ядер изотопов углерода ¹⁰C, ¹¹C, ¹²C, ¹³C, ¹⁴C.

В основном состоянии ядра значение изоспина I совпадает с модулем проекции изоспина I = | I_z |. Проекция изоспина I_z ядра, состоящего из Z протонов и N нейтронов, равна

.

То есть для основных состояний ядер I = |Z - N|/2.
Для указанных ядер значение изоспина будет:
для ¹⁰C - I = (6 – 4)/2 = 1,
для ¹¹C - I = (6 – 5)/2 = ¹/₂,
для ¹²C - I = (6 – 6)/2 = 0,
для ¹³C - I = (7 – 6)/2 = ¹/₂,
для ¹⁴C - I = (8 – 6)/2 = 1.

6. Рассчитать расстояние между уровнями 1s, 2s и 3s ядра ⁹⁰Zr для прямоугольной потенциальной ямы бесконечной глубины и ямы гармонического осциллятора.

В прямоугольной яме энергии уровней с l = 0 определяются соотношением:

,

где n - главное квантовое число, m - масса нуклона и R - радиус ядра (ширина ямы). Величина расстояний между уровнями 1s, 2s и 3s будет

= 3 ^x 7.3 МэВ = 22 МэВ

5 ^x 7.3 МэВ = 36.5 МэВ

В яме гармонического осциллятора выражение для энергии уровней с l = 0 определяется соотношением
E_n = (2n + 3/2), где = 41 A^1/3 = 41 ^x 90^1/3 = 9.1 МэВ для ⁹⁰Zr.
Расстояние будет = = 2 = 18.2 МэВ.

7. На основании одночастичной модели оболочек определить значения спинов и четностей J ^P основных состояний изотопов кислорода - ¹⁵O, ¹⁶O, ¹⁷O, ¹⁸O.

Изотопы ¹⁶O и ¹⁸O четно-четные, то есть имеют в основном состоянии спин и четность J^P = 0⁺. Спин и четность ядра ¹⁵O определяются "нейтронной дыркой" (по отношению к четно-четному ядру ¹⁶O) в состоянии 1p_1/2. Спин ядра J равен полному моменту "нейтронной дырки" в этом состоянии J = ¹/₂, а четность определяется орбитальным моментом l нуклона в данном состоянии P = (-1)^l = (-1)¹ = -1, то есть J^P = ¹/₂^-. Спин и четность ядра ¹⁷O определяется одним нейтроном в состоянии 1d_5/2 сверх четно-четного остова ядра ¹⁶O. Для ядра ¹⁷O J^P = ⁵/₂⁺.

8. Показать, что спектр возбужденных состояний деформированного ядра ¹⁸⁰Hf представляет собой "вращательную полосу".

Для четно-четных деформированных ядер энергия вращательных состояний

,

где J - спин состояния, который принимает лишь четные значения J = 0, 2, 4, …, I - момент инерции ядра. Отношение энергий уровней должно быть следующим:
E₂: E₄: E₆: E₈ = J₂(J₂ + 1): J₄(J₄ + 1): J₆(J₆ + 1): J₈(J₈ + 1) = = 2(2 + 1): 4 (4 + 1): 6(6 + 1): 8 (8 + 1) = 3: 10: 21: 36.
Подставим приведенные на рисунке значения энергий и получим:
E₂: E₄: E₆: E₈ = 93: 307: 637:1079 = ⁹³/₃₁: ³⁰⁷/₃₁: ⁶³⁷/₃₁: ¹⁰⁷⁹/₃₁ = 3: 9.90: 20.55: 34.81.
Полученные отношения, а также отсутствие в спектре в спектре уровней с J = 1, 3, 5, … указывают, что это "вращательная полоса" ядра.

9. На схеме показан спектр возбужденных состояний ядра ¹⁰⁶Pd. Оценить энергию первого возбужденного состояния 2⁺.

Это типичный спектр квадрупольных колебаний сферически симметричного ядра, имеющего в основном состоянии J^P = 0⁺. Квадрупольные колебания атомных ядер характеризуются фононом J^P = 2⁺. Положение энергетических уровней определяется числом фононов N: E_N = (N + 5/2) , где - энергия квадрупольного фонона. На рисунке есть только два уровня с J^P = 2⁺, нижний (искомый) уровень имеет N = 1, а второй N = 2.
Тогда E₀ = ⁵/₂ , E₁ = ⁷/₂ , E₂ = ⁹/₂ .
Энергия второго 2⁺ - состояния
E₂ - E₀ = (⁹/₂ - ⁵/₂) = 2 =1.127 МэВ.
Энергия первого (искомого) 2⁺-состояния
E₁ - E₀ = (⁷/₂ - ⁵/₂) = = 0.564 МэВ.
Для спектра квадрупольных колебаний четно-четных ядер имеющих в основном состоянии характерными особенностями являются следующие:

1. Первое возбужденноое состояние имеет J^P = 2⁺.
2. При энергиях возбуждения, вдвое превышающих энергию первого возбужденного состояния должны находятся три состояния с примерно одинаковой энергией и имеющих квантовые характеристики J^P = 0⁺, 2⁺, 4⁺, что соответствует сумме двух квадрупольных фононов 2⁺.