Как найти ранг матрицы с помощью миноров?

На уроках о вычислении определителя и нахождении обратной матрицы нам уже встречались миноры второго порядка, получаемые вычёркиванием строк и столбцов в матрице «три на три». Сейчас мы расширим понятие минора и дадим его определение… да не вздыхайте так тяжко, тут с картинками =)

Минором прямоугольной матрицы называется определитель, составленный из чисел, которые находятся на пересечении различных строк и различных столбцов матрицы. Число называют порядком минора.

Заметьте, что сама матрица не обязана быть квадратной. Рассмотрим конкретный пример:

Как получить какой-нибудь минор 2-го порядка? Нужно выбрать две произвольные строки, например, 2-ую и 4-ую, два произвольных столбца, например, 3-ий и 5-ый, и числа, находящиеся на их пересечении записать в минор второго порядка: . Сколько всего миноров 2-го порядка? Много. Существуют специальные комбинаторные формулы для подсчёта количества миноров, но в рамках данного занятие это малополезная информация.

Получим какой-нибудь минор третьего порядка. Рассматриваем три произвольные строки, например, 1-ую, 3-ю и 4-ую, три произвольных столбца, например, 1-ый, 2-ой и 4-ый и с их пересечения «снимаем» минор 3-его порядка: .

Что касается миноров 4-го порядка, то здесь выбор уже невелик: необходимо задействовать все 4 строки и четыре произвольных столбца, например, все столбцы, за исключением 3-го:

Date: 2015-07-23; view: 457; Нарушение авторских прав