Кинематика

s=f(t) – естественный способ задания движения, прямолинейное движение: х=f(t).

Координатный способ: x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t). Уравнение траектории: f(x,y,z)=0.

Векторный способ: радиус-вектор = , модуль , направляющие косинусы: и т.д. Переход от координатного способа к естественному: . Скорость точки. Вектор скорости: ; . Проекции скорости: , , . Модуль скорости: , направляющие косинусы: и т.д.

Естественный способ: , , – орт касательной. Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус, j=j(t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление , поперечное направление , модуль скорости .; x=rcosj, y=rsinj. Ускорение точки. . Проекции уск.-я: и т.д. Модуль уск.-я: , направляющ. косинусы: , и т.д. Проекции уск. на радиальное напр-ние , поперечное напр-ние , модуль уск-я . . Модуль нормального ускорения: , r – радиус кривизны траектории, модуль касательного ускорения , ^ , Þ . Прямолинейное движение: r= ¥, а_n=0, a=a_t. Равномерное криволинейное движение: v=const, a_t=0, a=a_n. s=s₀+v×t, при s₀=0 v=s/t. Равномерное прямолинейное движение: а=a_t=a_n=0.

4) Равнопеременное криволинейное движение: a_t=const, v=v₀+a_t×t, .

Угловая скорость: , . Угловое ускорение тела: . Равномерное вращение: w=const, j=wt, w=j/t, равнопеременное вращение: w=w₀+et; . Скорости и ускорения точек вращающегося тела: .

v=w×r×sin(a)= w×(CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения.

Формулы Эйлера: ,

v_x=w_yz – w_zy; v_y=w_zx – w_xz; v_z=w_xy – w_yx. Если ось вращения совпадает с осью z, то v_x= – wy; v_y=wx. Ускорение: . Вращательное уск. , а^вр=e×r×sina, центростремительное уск. , а^ц=w²×R. Полное ускорение: . Угол, между полным и центростремительным ускорениями: . Плоское движение твердого тела.

Уравнения плоского движения: x_A= f₁(t), y_A= f₂(t), j = f₃(t), Скорость ; , v_BA= w×BA, v_Acosa = v_Bcosb. Мгновенный центр ск-ей – Р: . , . Ускорения: ,

. , , , . Мгновенный центр уск-ий – Q; , , . Сферическое движение твердого тела. Уравнения сферического движения: Y=f₁(t); q=f₂(t); j=f₃(t) Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловое ускорение: . Скорости точек при сферич. движ.: , модуль v=wr×sina=w×h, h– расстояние от точки до мгновенной оси вращения.

Формулы Эйлера: .

Ускорения: , вращательное ускорение модуль вращат. уск. а^вр=e×r×sinb=e×h₁, h₁– расст. от точки до вектора , осестремительное ускорение , а^ос=w²×h. Движение свободного тв.тела. Ур-иядвиж.св.тв.тела: x_A=f₁(t); y_A=f₂(t); z_A=f₃(t); Y=f₄(t); q=f₅(t); j=f₆(t) (углы Эйлера). Скорость точки св.тв.тела: . Ускорение точки св.тв.тела: .

Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей:

, ;

, ;

; ; ,

, . Теорема о сложении ускорений -

теорема Кориолиса:

и т.д.

1) ;

2)

3) ;

4) ,

; ; .

. , ; а_с= 2×|w_e×v_r|×sin(w_e^{^}v_r).

Сложное движение тверд.тела. Правило параллелограмма угловыхск-ей: .

. Угл. ск-сть. прецессии , угл. ск-сть нутации ,

угл. ск. собственного вращ-ия . , – кинематические уравнения Эйлера.

Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.

Вращения направлены в одну сторону. w=w₂+w₁, ,

. 2) Вращения направлены в разные стороны. ,

w=w₂—w₁, . 3) Пара вращений ; v_A=v_B, v=w₁×AB – момент пары угловых скоростей. Винтовое движение: шагом винта – h. Если v и w=const, то h= =const, . Динамика

Основной закон динамики (2-ой закон (Ньютона)): . Дифференциальные уравнения движения материальной точки: ,

; . –

– дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки, его общее решение:

x=f(t,C₁,C₂), начальные условия: t=0, x=x₀, =V_x=V₀.

Свободные колебания ; c/m=k², ; x= C₁coskt + C₂sinkt,

= – kC₁sinkt + kC₂coskt, С₁= х₀, С₂= /k, т.е. x= х₀coskt + ( /k)sinkt.

С₁=Аsinb, C₂=Acosb, x=Asin(kt+b) – гармонические колебания, А= амплитуда, tgb=kx₀/ , b – начальная фаза свободных колебаний; – собственная частота колебаний; период Т=2p/k. Статическое отклонение d_ст=Р/с. Т=2p .

Затухающие колебания R_x= – b сила сопротивления, , b/m=2n, , характеристическое уравнение: z² + 2nz + k²= 0, его корни:

z_1,2= . а) n<k ,

x=Ae^-ntsin(kt+b). , ; частота затухающих колебаний: k^*= ; период: . – декремент колебаний; –nT^*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.

Б) Апериодическое движение n³k. При n>k: , обозначая С₁=(В₁+В₂)/2, С₂=(В₁-В₂)/2, . При n = k: , ,

Вынужденные колебания: возмущающая сила: Q = Hsin(pt+d), р – частота возмущающей силы, d – начальная фаза. , h=Н/m, .

х = х^*+х^**. х^*= C₁coskt + C₂sinkt, х^**= Asin(рt+d).

– количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. – теорема об изменении количества движ. матер. точки в дифф. форме или . – импульс силы за [0,t]. В проекциях на оси координат: и т.д. - момент количества движения матер.

точки относительно центра О. Теорема об изменении момента количества движения матер.точки. . Если М_О= 0, Þ =const. =const,

где – секторная скорость. Элементарная работа dA = F_tds, F_t – проекция силы на касательную к траектории, или dA = Fdscosa. dA= – скалярное произведение; dA= F_xdx+F_ydy+F_zdz. Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁:

. ЕслиF=const, то = F×s×cosa. , .

Работа силы тяжести: . A>0, если М₀ выше М₁.

Работа силы упругости: .

Работа силы трения: , F_тр=fN. Сила притяжения (тяготения): , k=gR². Работа силы тяготения: .

Мощность . Если N=const, то N=A/t.

Теорема об изменении кинетической энергии точки. В дифференциальной форме: . – кинетическая энергия материальной точки. В конечном виде: . , U=U(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,…x_n,y_n,z_n) – силовой функцией. Элементарная работа сил поля: dА=ådА_i= dU. Работа сил на конечном перемещении . Потенциальная энергия – П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. А_1,2= П₁– П₂. Потенц. энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенциальная энергия поля центральных сил. Центральная сила – , . Гравитационная сила , , f = 6,67×10^-11м³/(кгс²) – постоянная тяготения.

Первая космическая скорость v₁= » 7,9 км/с, R = 6,37×10⁶м – радиус Земли; вторая космическая скорость: v₁₁= » 11,2 км/с.

Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружин: , l – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: .