Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Элементы математической статистики





Рассмотрим характеристики случайных величин на основе опытных данных.

Определение: Генеральной совокупностью называется множество всех однородных объектов, подлежащих изучению.

Определение: Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.

Определение: Объемом совокупности называется число объектов этой совокупности.

Определение: Последовательность наблюденных значений случайного признака Х генеральной совокупности, расположенных в порядке возрастания, называется вариационным рядом:

х12,……,хn, (22)

а сами значения называются вариантами, то есть хi – варианта, i=1,2,……,n.

Пусть n – объем выборки , Х – изучаемая случайная величина, которая в результате наблюдений значение хi принимает тi раз; тi называется частотой варианты хi , а отношение называется относительной частотой варианты, прием .

Размах выборки R – разность между максимальным и минимальным элементами выборки.

Естественной формой эмпирического закона распределения (этап обработки вариационного ряда) является статистический ряд – таблица частот, выборочный ряд – таблица относительных частот, полигон распределения, гистограмма, эмпирическая функция распределения.

Часто возникает задача нахождения подходящих приближенных значений (оценки) неизвестных параметров распределения количественного признака Х генеральной совокупности по данным выборки. Ниже рассмотрены определения статистических оценок параметров распределения: точечной и интервальной.

Определение: Точечной называют оценку неизвестного параметра распределения, которая определяется одним числом.

Выборочная средняя:

(23)

используется в качестве точечной оценки математического ожидания признака (случайной величины) Х генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия:

(24)

используется в качестве точечной оценки дисперсии признака Х генеральной совокупности.

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

(25)

Исправленное среднее квадратическое отклонение:



(26)

Выборочной модой М0 распределения называют варианту выборки с наибольшей частотой.

Выборочной медианойmе называют число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное число вариант.

Определение: Интервальной называют оценку неизвестного параметра, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Определение: Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки неизвестного параметра – математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

φγ= (27),

где – точность оценки, n – объем выборки, t – значение функции Лапласа ф(t) (таблица в приложении учебника), при котором ф(t)= , где γ – надежность. При неизвестном σ доверительный интервал для оценки математического ожидания а имеет вид:

(28),

где s исправленное среднее квадратическое отклонение, tγ находится по таблице значений функции tγ=t(n,γ) по заданным n и γ (Таблица в приложении учебника).

Для оценки среднего квадратического отклонения σ нормально распределенного количественного признака Х с надежностью γ по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s служат доверительные интервалы:

(S(1-q); S(1+q)) (при q<1) (29)

(0 ; S(1+q)) (при q>1) (30),

где q находится по таблице значений функции q=q(n, γ) по заданным n и γ. (Таблица в приложении учебника).

Задача 11. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

2,0 2,6 2,8 2,4 2,8 2,2 2,0 2,6

2,6 2,6 2,4 2,2 2,4 2,8 2,4 2,6

2,4 2,4 2,4 2,2 2,6 2,0 2,0 2,8

2,2 2,8 2,6 2,2 2,0 2,8 2,0 2,8

2,4 3,2 2,6 3,2 2,6 2,6 3,0 2,2

Признак Х имеет нормальное распределение.

Требуется: 1)Составить вариационный, статистический и выборочный ряды распределения. Найти размах выборки. По полученному распределению выборки: 2) Построить полигон относительных частот; 3) Построить график эмпирической функции распределения; 4) Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану; 5) С надежностью γ=0,95 найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

Решение: 1. Вариационный ряд состоит из различных чисел: 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 3,0; 3,2; 3,2.

Статистический ряд – таблица частот имеет вид: Таблица 2

xi 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2
ni

В первой строке таблицы числа вариационного ряда, а во второй – их частоты.



Выборочный ряд – таблица относительных частот имеет вид:

Таблица 3

xi 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2
wi 0,15 0,15 0,2 0,25 0,175 0,025 0,05

Размах выборки равен разности R=3,2–2,0=1,2

2. Полигон относительных частот – графическое изображение выборочного ряда распределения. По оси абсцисс откладываются значения вариант xi, а по оси ординат значения соответствующих относительных частот wi, точки (xi, wi) соединяются отрезками прямых, образующих ломаную (рис. 5).

 
 

Рис. 5. Полигон относительных частот Рис. 6. График эмпирич. функции

3. Эмпирическая функция распределения F*(x)= , где nx – число вариант, меньших х, n – объем выборки. Объем выборки n=40. Наименьшая варианта равна 2,0 – следовательно при х≤2,0 F*(x)=0, так как значение Х <2,0 не наблюдалось. Следующее значение варианты 2,2 – следовательно при 2,0<х≤2,2 F*(x)=0,15, так как значение Х<2,2 наблюдалось 6 раз. Проводим и далее аналогичные рассуждения. Искомая эмпирическая функция имеет вид:

0 при х≤2,0

0,15 при 2,0< х≤2,2

0,3 при 2,2< х≤2,4

F*(x) = 0,5 при 2,4< х≤2,6

0,75 при 2,6< х≤2,8

0,925 при 2,8< х≤3,0

0,95 при 3,0< х≤3,2

1 при 3,2< х

4. Используя формулы (23), (24), (25) определения моды и медианы находим: выборочную среднюю:

= =2,485;

выборочную дисперсию:

Dв=

;

исправленное среднее квадратическое отклонение: ;

моду: М0=2,6; медиану: те (2,4; 2,6).

5.Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид (31). Находим t=2,023 по таблице значений функции tγ=t(γ,n) при γ=0,95, n=40.

=2,485, S=0,323, тогда уγ=(2,485-2,023 ; 2,485+2,023 );

уγ=(2,382; 2,588).

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид (29). Находим q=0,24<1 по таблице значений функции q= q(γ, n) при γ=0,95, n=40. S=0,323, тогда γ=(0,323(1-0,24); 323(1+0,24)); γ=(0,245; 0,401).

Задача 12.Для выборки, извлеченной из генеральной совокупности, дан интервальный статистический ряд.

αi-βi 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50
n*i 7 8 15 18 23 19 14 10 6

 

Требуется: 1) построить полигон интервальных относительных частот; 2)

построить кумулятивную кривую; 3) построить гистограмму относительных частот; 4) найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочную моду и выборочную медиану; 5) проверить на уровне значимости α=0,05 гипотезу о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона; 6) в случае согласованности с нормальным распределением найти с надежностью γ=0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака Х генеральной совокупности.

Решение: Объем выборки n= .

Составим таблицу 5, в которой αii-i-й интервал, n количество вариант, попадающих в i – й интервал, х интервальная варианта – середина интервала, х ( i= 1,2, …,9), W (i = 1,2, …,9) – интервальная относительная частота, накопленная интервальная относительная частота, uiусловная варианта.

Таблица 5

i αii x n ui u ui n u
5–10 7,5 0,06 0,06 0,012 –4 –28
10–15 12,5 0,07 0,13 0,014 –3 –24
15–20 17,5 0,12 0,25 0,024 –2 –30
20–25 22,5 0,15 0,40 0,030 –1 –18
25–30 27,5 0,19 0,59 0,038
30–35 32,5 0,16 0,75 0,032
35–40 37,5 0,12 0,87 0,024
40–45 42,5 0,08 0,95 0,016
45–50 47,5 0,05 0,010
Σ    
Σ∕n     0,008 4,358

 

1. Полигон интервальных относительных частот ломаная линия с вершинами в точках (хi*,wi i=1,2,…,9 (рис. 7).

 

 

Рис. 7. Полигон интервальных относительных частот.

 

2. Кумулятивная кривая – ломаная линия с вершинами в точках i, ), i=1,2,…,9, где βi – правый конец i-го интервала группировки (рис. 8).

 

Рис. 8. Кумулятивная кривая

3. Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями – интервалами ( i,βi) и высотами равными (i=1,2,…,9)(рис. 9).

 

 

Рис. 9. Гистограмма относительных частот

4. Найдем ,Dв, σв. Используем таблицу 5. Применим метод условных вариант для случая интервальной группировки. Условия варианта ui= , , = , =4,358, =h +c=5·0,008+27,5=27,54, Dвu= - =4,358-(0,008)2=4,358; Dвх=h2 Dвu=52·4,358≈108,95, σвx= .

В случае интервальной группировки формула для нахождения выборочной моды имеет вид:

М0= +h .

Формула для нахождения медианы имеет вид:

те= +h .

5. Для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия согласия Пирсона составим расчетную таблицу 6, в которой Zi ; s= - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Рi= , для f(x)= имеется таблица значений.

Таблица 6

i i zi f(zi) рi npi - npi ( - npi)2 ( - npi) npi
5-10 7,5 1,8959 0,0656 0,0310 3,720 4,280 18,3184 4,924
10-15 12,5 1,4228 0,1456 0,0688 8,256 6,744 45,481 5,509
15-20 17,5 0,9498 0,2541 0,1202 14,424 0,576 0,332 0,023
20-25 22,5 0,4768 0,3555 0,1682 20,184 -2,184 4,769 0,236
25-30 27,5 0,0037 0,3989 0,1887 22,644 0,356 0,127 0,006
30-35 32,5 0,4692 0,3572 0,1689 20,268 -1,268 0,608 0,079
35-40 37,5 0,9422 0,2565 0,1213 14,556 -0,556 0,309 0,021
40-45 42,5 1,4153 0,1456 0,0688 8,256 1,744 3,041 0,368
45-50 47,5 1,8883 0,0669 0,0316 3,792 2,208 4,875 1,286
              12,452

 

Наблюдаемое значение статистики Пирсона χ2набл.=12,5.

Определяем критическую точку статистики Пирсона по таблице значений χ 2 при α=1-γ=1–95=0,05, к=т-3=9–6, χ 2кр.= χ 20,05(6)=12,6.

Сравним χ 2набл. и χ 2кр.: χ 2набл. < χ 2кр..

И в соответствии с разрешающим правилом критерия Пирсона гипотеза, нормальности согласуется с данной выборкой.

6. Доверительный интервал для оценки математического ожидания имеет вид: n=120, =27,54, S=

По таблице значений функции tγ=t(γ,n) при γ=0,95 и n=120 находим tγ=1,98, доверительный интервал:

уγ= , уγ=(25,63; 29,45).

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения имеет вид:

(s(1-q); s(1+q)) (при q<1), s=10,57. По таблице значений функции q=q(γ,n) при γ=0,95 и n=120.

Находим q=0,13<1.

уγ= (10,57(1-0,13); 10,57(1+0,13)),

уγ=(9,20; 11,94)

Литература

Основная литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2009. – 479 с.

2. Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов [Текст]: Учебник для вузов / О.Ю. Ермолаев. – М.: МПСУ, 2011 .– 336 с.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам [Текст] / Д.Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2008. -288 с.

Дополнительная литература

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: ОНИКС. Мир и Образование, 2004. – 405 с.

2. Чебыкин Л.С. Высшая математика: Элементы теории вероятностей и математической статистики: Курс лекций [Текст] / Л.С. Чебыкин. – Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1981. – 154 с.


 

 

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

 

 

Подписано в печать _________. Формат 60´84/16. Бумага для множ. аппаратов.

Печать плоская. Усл. печ. л. ___. Уч.-изд. л.____. Тираж ____ экз. Заказ № ____.

ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет». Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

Ризограф ФГАОУ ВПО РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.








Date: 2015-07-22; view: 1402; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.023 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию