Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Случайные величины





Определение:Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от множества случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X,Y,Z,…, а их возможные значения буквами x,y,z,…. Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

Дискретная случайная величина принимает конечное или счетное множество значений, а всевозможные значения непрерывной случайной величины сплошь заполняют некоторый интервал.

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Законы распределения дискретной случайной величины: ряд распределения; функция распределения; многоугольник распределения. Законы распределения непрерывной случайной величины: функция распределения F(х), плотность распределения f (х).

Некоторые часто встречающиеся формулы:

F(х)= Р (Х <х ) (9)

f (x) = F'(х) (10)

(11)

P(α <Х < β)=F(β)-F(α) (12)

Р(α<х<β)= f (x)dx, (13)

Числовые характеристики случайной величины позволяют выразить в сжатой форме существенные особенности распределения случайной величины.

Для дискретной случайной величины (случай конечного множества значений) математическое ожидание определяется по формуле:

М(х)=х1 р12 р2 + ……+хn pn , (14)

дисперсия (рабочая формула)

D(x)=M(x2)- (15)

среднее квадратическое отклонение

σ(Х)= . (16)

Для непрерывной случайной величины: математическое ожидание

М(Х)= хf(x)dx (17)

дисперсия (рабочая формула)

D(X)= x2f(x)dx- (18)

cреднее квадратическое отклонение

σ(Х)= . (19)

Задача 8. Монета брошена три раза. Составить ряд распределения вероятностей случайной величены Х – числа выпадений герба. Построить многоугольник распределения случайной величины Х, найти функцию распределения F(X) и построить ее график. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(Х).



Решение: Вероятность появления герба в каждом испытании ( бросании монеты) равна р= , следовательно, вероятность непоявления герба q можно определить по формуле q=1–р, то есть q=1 = . При трех бросаниях монеты герб может совсем не появиться, либо появиться один раз, два, либо три раза. Таким образом, возможные значения величины Х: х0=0; х1=1; х2=2; х3=3.

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли (10) при т=0,1,2,3.

Р(Х=0)=Р3(0)=С03 р0q3=( )3= ;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13 р1q2= ( )1( )2= ;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23 р2q1= ( )2 = ;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33 р3q0= ( )3= ;

 

Запишем искомый закон биноминального распределения в виде распределения (таблица 1).

 

Таблица 1

xi
pi

 

Рис.1. Многоугольник распределения

 

В целях контроля вычислений сложим вероятности всех возможных значений pi= + + + =1(что и следовало ожидать).

Построим многоугольник распределения (рис.1).

Составим функцию распределения F(X):

1. <х≤0, F(x)=0,

2. 0<x≤1, F(x)= P(X=xi)=P(X=0)= ,

3. 1<x≤2, F(x)= P(X=xi)= Pi= + = ,

4. 2<x≤3, F(x)= P(X=xi)= Pi= + + = ,

5. 3<x≤+∞, F(x)= P(X=xi)= Pi= + + + =1.

 

Или:

0 при -∞<x≤0;

при 0<x≤1;

F(x)= при 1<x≤2;

при 2<x≤3;

1 при 3<x≤+∞.

Рис. 2. График функции распределения

 

Составленную функцию распределения изобразим графически (рис. 2).

Найдем математическое ожидание М(Х):

М(Х)= xi pi=0 +1 +2 +3 = .

Найдем математическое ожидание М(Х2):

М(Х2)= xi2 pi =02 +12 +22 +32 =3.

Найдем дисперсию Д(Х)=М(Х2) – =3 – ( )2= ,

Среднее квадратическое отклонение равно: σ(х)= = = 0,87.

Задача 9. Случайная величина Х задана функцией распределения.

Найти: а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х окажется в пределах промежутка (0;1); б) плотность распределения вероятностей f(x), построить графики F(x), f(x); в) математическое ожидание М(Х), дисперсию Д(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).

Решение: а) Пользуясь формулой Р(α<X<β)=F(β)-F(α), найдем Р(0<X<1)= F(1)–F(0)= .

б) По формуле f(x)= F'(x) находим:

.

       
   
 

Рис.3. График функции F(x) Рис.4. График функции f(x)

в) Найдем математическое ожидание по формуле : М(Х)= .

М(Х)= = + + = = = = .

Для вычисления дисперсии Д(Х) воспользуемся формулой Д(Х)= М(Х2)- . Вычислим М(Х2):

М(Х2)= = + + = = =

= =1.

Д(Х)= М(Х2)– =1- .

Среднее квадратическое отклонение σ(Х) вычисляем по формуле:

σ(Х)= , σ(Х)= .






Date: 2015-07-22; view: 372; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию