Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространствеЛюбой вектор в декартовой системе координат может быть представлен в виде
где координаты вектора орты координатных осей. Вектор с началом в точке и концом в точке имеет вид: , то есть . Длина отрезка называется длиной (модулем) вектора, обозначается = и вычисляется по формуле . Сумма векторов и определяется формулой Произведение вектора на число определяется формулой . Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. . Скалярное произведение векторов и вычисляется по формуле: . Векторным произведением векторов и называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям: 1) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. ; 2) вектор перпендикулярен векторам и ; 3) векторы образуют правую тройку, то есть они ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты . Модуль векторного произведения векторов и численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: Векторное произведение векторов и вычисляется по формуле: . Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение вектора на вектор , то есть . Модуль смешанного произведения векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах: Пусть Тогда . Уравнение любой плоскости может быть записано в виде: где . Вектор , перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , имеет вид Угол между плоскостями и определяется следующим образом: . Расстояние от точки до плоскости, определяемой уравнением , находится по формуле . Прямая в пространстве может быть задана уравнениями двух плоскостей , пересекающихся по этой прямой, или каноническими уравнениями прямой , которые определяют прямую, проходящую через точку и параллельную вектору . Вектор называется направляющим вектором прямой. Уравнения прямой, проходящей через две точки и , имеют вид: . Угол между двумя прямыми и определяется следующим образом: . Угол между прямой и плоскостью определяется следующим образом: . Если точка делит отрезок АВ, где , , в отношении , то координаты точки М определяются по формулам: .
Задание 1. Даны координаты вершин пирамиды : , . Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.
Решение. 1) Для определения длины ребра найдем координаты вектора : . Тогда длина ребра будет равна длине вектора : . 2) Найдем угол между ребрами и . Для этого, как и раньше, найдем координаты вектора , определяющего ребро . Получим и . Тогда угол между ребрами и можно найти из определения скалярного произведения двух векторов: . Следовательно, . 3) Чтобы найти угол между ребром и гранью , определим нормальный вектор плоскости . Из определения векторного произведения двух векторов имеем: , т.е. и . Тогда , . Так как нормальный вектор перпендикулярен плоскости , то угол между ребром и гранью определяется как . 4) Площадь грани можем найти по формуле . Следовательно, кв. ед. 5) Объем пирамиды, построенной на векторах, равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах. Для определения объема параллелепипеда воспользуемся свойством смешанного произведения векторов. В результате имеем: Таким образом, куб.ед. 6) Составим уравнения прямой . Для этого воспользуемся уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки и : . Получаем: . 7) Уравнение плоскости можно найти по формуле: , где , . Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: или после упрощения . 8) Чтобы составить уравнение высоты , опущенной из вершины на грань , воспользуемся формулой: , где , - направляющий вектор высоты пирамиды . Так как вектор перпендикулярен грани , то в качестве можно взять вектор - нормальный вектор плоскости . Следовательно, имеем: или . 9) Сделаем теперь чертеж:
|