Глава 2. Методические рекомендации к изучению темы в

школьном курсе геометрии.

Обучение решению геометрических задач с применением теорем Менелая и Чевы проводим в 3 этапа:

1 этап – в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах, знакомим учащихся с теоремами и формируем умения решать ключевые задачи темы;

2 этап – рассматриваем соответствующие вопросы в школьном курсе геометрии 10 класса профильного уровня;

3 этап – после изучения основ стереометрии показываем, как «работают» теоремы в решении стереометрических задач, включая конкурсные задачи вступительных экзаменов в вузы.

2.1 Методика обучения решению задач с применением теорем Менелая и Чевы в период предпрофильной подготовки.

К моменту изучения темы учащиеся должны знать теорему Фалеса, формулу вычисления площади треугольника и свойства площадей треугольников, свойство биссектрисы треугольника, признаки подобия треугольников, теоремы о пересечении биссектрис, медиан, серединных перпендикуляров, высот в треугольнике. Этот материал изучается в 8 классе. Поэтому в 9 классе в рамках факультатива «За страницами учебника» отводим 10 часов на тему «Некоторые замечательные теоремы планиметрии», в которой рассматриваем следующие вопросы:

1. Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике (2 часа).

2. Теорема Чевы и ее следствия. Применение теорем Чевы и Менелая к задачам на доказательство(2 часа).

3. Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.(2 часа).

4. Решение задач, связанных с нахождением площадей (2 часа).

5. Комбинированные задачи (2 часа).

Каждое занятие, а также все они в целом направлены на то, чтобы развить интерес учащихся к предмету, познакомить с новыми идеями и методами, расширить представления об изучаемом в основном курсе материале, а главное, порешать интересные геометрические задачи алгебраическим способом.

Занятия 1-2. Тема: Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике.

В результате изучения материала этих занятий учащиеся должны:

знать формулировки теоремы Менелая и теоремы, обратной теореме Менелая;

уметь воспроизводить доказательство теоремы Менелая и применять ее при решении простейших задач.

В начале занятия 1 необходимо повторить основные теоретические сведения, связанные с треугольником, известные учащимся с 7-8 классов. Затем предложить решить задачу 1:

В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?

Дано:

ABC, D BC, BD: DC= 1:3

O AD, AO: OD= 5:2

BO AC= E

Найти AE: EC

Решение:

Проведем DM ll BE (рис. 11). По теореме Фалеса . Тогда AE= 5k, EM= 2k, где k- коэффициент пропорциональности. Аналогично , откуда MC= 3EM=6k; EC= 2k+6k= 8k; .

Ответ: AE: EC= 5:8

Для решения этой задачи пришлось выполнить дополнительное построение. Вряд ли учащиеся смогут догадаться, какое именно дополнительное построение требуется для решения этой или похожей задачи, поэтому она может оказаться сложной для них.

Можно сообщить ученикам, что эту задачу можно решить без дополнительного построения, причем достаточно просто и быстро. Но для этого нам понадобится следующее утверждение - и далее идет знакомство с теоремой Менелая, но ее формулировка (с.9) разбивается на 2 независимых утверждения - прямую и обратную теоремы.

Теорема (Менелая). Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC ABC взяты соответственно точки C ,A и B , не совпадающие с вершинами треугольника. Если точки A ,B ,C лежат на одной прямой, то выполняется равенство

. . =1 ()

Доказательство теоремы проводится одним из способов, рассмотренных в главе 1 на с.10-11.

Необходимость рассмотрения случая, когда точки A ,B ,C лежат на продолжениях сторон треугольника, определяет учитель. Нужно сообщить учащимся, что при составлении равенства () надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали; равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении (по часовой стрелке, против часовой стрелки). После рассмотрения теоремы Менелая возвращаемся к решению задачи 1.

Рассмотрим ADC; B DC,O AD, E AC; O,B,E лежат на одной прямой; по

теореме Менелая . . =1. Так как BD: DC= 1:3, то CB: BD=4:1,

подставляем, получаем . . =1, = .

Таким образом, сопоставление разных способов решения может оказаться весьма полезным, становится очевидным преимущество второго способа.

Рассмотрим задачу 2.

В ABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC – точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?

Решение:

I способ. Через точку B проведем прямую a ll AC (рис.12); AK a= P;

BKP ~ CKA BP= AC.

BOP~ MOA ~ =

Ответ: = .

В этом случае нужно увидеть подобные треугольники, для чего использовать дополнительное построение.

II способ. Рассмотрим MBC; прямую AK назовем секущей, так как она пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника MBC; A MC,O BM, K BC;

A,O,K лежат на AK (на одной прямой). По теореме Менелая , , = .

Замечаем, что теорема Менелая проста для применения, но здесь важно увидеть нужную конфигурацию - треугольник и секущую, причем такие, что два отношения в равенстве Менелая будут известны, тогда можно будет найти третье. В связи с этим полезны упражнения «на узнавание»:

На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:

Задача 3. В каком отношении делит сторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?

Дано:

ABC; AB = B C; BO=OB ;

Найти BA : A C

Решение:

Рассмотрим BCB и секущую AA ; A B C, O BB , A BC.

По теореме Менелая ; ; =

Ответ: BA : A C=1:2

Задача 4. Дано:

ABC; AA - биссектриса,

BB - медиана; AB=2, AC=3;

Найти BO: OB

Решение:

AA - биссектриса = .

Рассмотрим BB C и секущую AA ; A B C, A BC, O BB (рис.17).

По теореме Менелая

; .

Ответ: BO: OB =4:3

Задача 5. На сторонах AC и BC ABC отмечены соответственно точки N и K так, что AN: NC= m: n, AK BN= Q, BQ: QN= p: q. Найти BK: KC.

Решение:

Рассмотрим BCN и секущую AK; A NC, Q BN, K BC (рис. 18).

По теореме Менелая

Ответ:

Далее ставим вопрос о справедливости обратного утверждения.

Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник ABC. Предположим, что точка C лежит на стороне AB, точка A лежит на стороне BC, а точка B лежит на продолжении стороны AC, причем про эти точки известно, что . . =1. Тогда эти точки лежат на одной прямой.

Доказательство этого утверждения приводится в главе 1, с.11.

Задачи для самостоятельного решения:

1. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M, KM AC= P. Найти CP: AP, если а) AK: KB= 2, BM: MC= 1:3;

б) AK: KB= 3, BM: MC = 4;

в) AK: KB= 2:5, BM: MC = 2.

Ответы: а) 3:2; б) 1:12; в) 5:8.

2. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M; CK AM=O. Обозначим AK: KB= k, BM: MC= m, CO: OK= p, AO:OM= l. Пусть из четырех чисел k,m,p и l известны два. Найти два оставшихся числа, если

а) k=2, m= ; в) k=3, p= 2; д) m= , l= ;

б) k= , m= ; г) k=2, l=3; е) p=2, l=1.

Ответы: а) p= , l= ; б) p=5, l=1; в) m= , l=5; г) m= , p=3; д) k= , p=15; е) k= , m=2.

3. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M такая, что AM= AC, а на стороне BC – точка K такая, что BK= BC. В каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?

4. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки K и M так, что AK:AB= BM: BC= 1:3. В каком отношении точка пересечения CK и AM делит каждый из этих отрезков?

5. На сторонах AC и BC расположены соответственно точки N и M так, что AN:NC=k, BM:MC=m, прямые AM и BN пересекаются в точке O. Найти отношения AO:OM, BO:ON.