Теорема Кэли

Теорема. Всякая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок.

Доказательство. Пусть G- конечная группа, n- ее порядок, - ее элементы, среди них а - нейтральный элемент.

Напишем для каждого i = 1, 2,..., n

Все эти элементы различны; число их равно n; значит, это суть те же элементы

но только записанные в другом порядке, а именно: пусть

Итак, элементу соответствует подстановка

или подстановка

отличающаяся от подстановки Р только тем, что в Р переставляются элементы группы G, а в - взаимно однозначно соответствующие этим элементам их номера.

Если i≠ k, то Р ≠ Р, так как в подстановке Р под элементом расположен

Итак, имеем взаимно однозначное соответствие между элементами группы G и подстановками Р, Р,..., Р.

Теперь нужно доказать, что во-первых, подстановки образуют группу по отношению к обычному умножению подстановок и, во-вторых, что эта группа изоморфна группе G.

Заметим прежде всего:

1. Среди подстановок содержится тождественная подстановка.

В самом деле, так как есть, по предположению, нейтральный элемент группы G, то подстановка

есть тождественная подстановка.

Далее докажем: если, то.

Сначала заметим, что

и

представляют две записи одной и той же подстановки; в самом деле, обе записи означают, что каждому элементу группы G ставится в соответствие элемент той же группы.

Итак, мы можем записать

Заметив это, видим, что подстановка

на основании общего определения умножения подстановок тождественна с подстановкой

Но если, то

т.е.

Только что доказанное можно сформулировать так:

2а. Произведению двух элементов группы G соответствует произведение подстановок, соответствующих этим элементам.

Отсюда следует:

2б. Произведение любых двух из числа подстановок есть одна из подстановок

Рассмотрим подстановку, элемент и элемент. Так как, то по только что доказанному; но есть, как мы видели, тождественная подстановка, поэтому

Итак, мы доказали еще одно утверждение.

3. Подстановка для любого i=1,2,3,...,n есть одна из подстановок

Из 2б, 1 и 3 следует, что совокупность подстановок есть группа при обычном определении умножения подстановок. Из 2а следует, что эта группа изоморфна группе G.

Теорема Кэли, таким образом, доказана.