Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теорема КэлиТеорема. Всякая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок. Доказательство. Пусть G- конечная группа, n- ее порядок, - ее элементы, среди них а - нейтральный элемент. Напишем для каждого i = 1, 2,..., n
Все эти элементы различны; число их равно n; значит, это суть те же элементы но только записанные в другом порядке, а именно: пусть
Итак, элементу соответствует подстановка
или подстановка
отличающаяся от подстановки Р только тем, что в Р переставляются элементы группы G, а в - взаимно однозначно соответствующие этим элементам их номера. Если i≠ k, то Р ≠ Р, так как в подстановке Р под элементом расположен Итак, имеем взаимно однозначное соответствие между элементами группы G и подстановками Р, Р,..., Р. Теперь нужно доказать, что во-первых, подстановки образуют группу по отношению к обычному умножению подстановок и, во-вторых, что эта группа изоморфна группе G. Заметим прежде всего: 1. Среди подстановок содержится тождественная подстановка. В самом деле, так как есть, по предположению, нейтральный элемент группы G, то подстановка
есть тождественная подстановка. Далее докажем: если, то. Сначала заметим, что
и
представляют две записи одной и той же подстановки; в самом деле, обе записи означают, что каждому элементу группы G ставится в соответствие элемент той же группы. Итак, мы можем записать
Заметив это, видим, что подстановка
на основании общего определения умножения подстановок тождественна с подстановкой
Но если, то
т.е. Только что доказанное можно сформулировать так: 2а. Произведению двух элементов группы G соответствует произведение подстановок, соответствующих этим элементам. Отсюда следует: 2б. Произведение любых двух из числа подстановок есть одна из подстановок Рассмотрим подстановку, элемент и элемент. Так как, то по только что доказанному; но есть, как мы видели, тождественная подстановка, поэтому Итак, мы доказали еще одно утверждение. 3. Подстановка для любого i=1,2,3,...,n есть одна из подстановок Из 2б, 1 и 3 следует, что совокупность подстановок есть группа при обычном определении умножения подстановок. Из 2а следует, что эта группа изоморфна группе G. Теорема Кэли, таким образом, доказана.
|