Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Теорема Кэли





Теорема. Всякая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок.

Доказательство. Пусть G- конечная группа, n- ее порядок, - ее элементы, среди них а - нейтральный элемент.

Напишем для каждого i = 1, 2, ..., n

 

Все эти элементы различны; число их равно n; значит, это суть те же элементы

но только записанные в другом порядке, а именно: пусть

 

Итак, элементу соответствует подстановка

 

 

или подстановка

 

 

отличающаяся от подстановки Р только тем, что в Р переставляются элементы группы G, а в - взаимно однозначно соответствующие этим элементам их номера.

Если i≠ k, то Р ≠ Р , так как в подстановке Р под элементом расположен

Итак, имеем взаимно однозначное соответствие между элементами группы G и подстановками Р , Р , ..., Р .

Теперь нужно доказать, что во-первых, подстановки образуют группу по отношению к обычному умножению подстановок и, во-вторых, что эта группа изоморфна группе G.

Заметим прежде всего:

1. Среди подстановок содержится тождественная подстановка.

В самом деле, так как есть, по предположению, нейтральный элемент группы G, то подстановка

 

 

есть тождественная подстановка.

Далее докажем: если , то .

Сначала заметим, что

 

 

и

 

 

представляют две записи одной и той же подстановки ; в самом деле, обе записи означают, что каждому элементу группы G ставится в соответствие элемент той же группы.

Итак, мы можем записать

 

 

Заметив это, видим, что подстановка

 

 

на основании общего определения умножения подстановок тождественна с подстановкой

 

 

Но если , то

 

т.е.

Только что доказанное можно сформулировать так:

2а. Произведению двух элементов группы G соответствует произведение подстановок, соответствующих этим элементам.

Отсюда следует:

2б. Произведение любых двух из числа подстановок есть одна из подстановок

Рассмотрим подстановку , элемент и элемент . Так как , то по только что доказанному ; но есть, как мы видели, тождественная подстановка, поэтому

Итак, мы доказали еще одно утверждение.

3. Подстановка для любого i=1,2,3,...,n есть одна из подстановок

Из 2б, 1 и 3 следует, что совокупность подстановок есть группа при обычном определении умножения подстановок. Из 2а следует, что эта группа изоморфна группе G.

Теорема Кэли, таким образом, доказана.

 

 








Date: 2015-07-02; view: 513; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию