Аргумент и модуль комплексного числа

Мы знаем, что точку можно задать не только в декартовой системе координат, но и в полярной, то есть с помощью угла и расстояния. Точно так же можно задать и комплексное число.

Действительное число, равное , называется модулем комплексного числа .

Модуль комплексного числа равен длине радиус-вектора комплексного числа (расстоянию от 0 до точки, изображающей комплексное число на плоскости).

А величина равна расстоянию между точками, обозначающими комплексные числа и .

Угол , образованный радиус-вектором комплексного числа и действительной осью комплексной плоскости, называется аргументом комплексного числа.

Аргумент комплексного числа обозначается . Любое комплексное число имеет бесконечно много аргументов, отличающихся на , где . Значение аргумента, удовлетворяющее условию , называется главным значением аргумента и обозначается .

В некоторых учебниках за главное значение аргумента принимают угол . Это влияет только на запись ответа в примерах и никак не влияет на сам результат (меняется только форма записи).

По рисунку легко определить, как связаны координаты , комплексного числа с его аргументом и модулем:

, ;	(1)
, .	(2)

Пример 1. Найти главное значение аргумента комплексного числа .

Решение. Модуль числа , аргумент числа найдем из соотношения .

Ответ: , .