Занятие 1. Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме

Тема 5. Комплексные числа

Введение

В процессе развития математики потребовалось дополнительно к известным действительным числам ввести числа нового рода. Они называются комплексными.

Своим появлением комплексные числа обязаны задаче нахождения решений уравнений 3 и 4 степени, но сейчас они применяются во многих областях как самостоятельный математический аппарат.

В отличие от действительных чисел, комплексные числа долгое время не могли связать ни с какими объектами и процессами в реальном мире, в результате чего чисто комплексные числа стали называть мнимыми. В настоящее время известен целый ряд физических величин, подчиненных тем же правилам, что и комплексные числа. Поэтому они нашли широкое применение в физике и технике (электротехнике, теории упругости, аэродинамике, теории автоматического управления и др.).

Занятие 1. Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме

Мнимая единица - это обозначение некоторого числа, не являющегося действительным и служащего для расширения поля действительных чисел.

Основное свойство мнимой единицы:

(1)

Алгебраическая форма называется комплексным числом. Множество всех комплексных чисел обозначается символом .

Комплексное число состоит из двух частей:

1) — действительная часть, обозначается ;

2) — мнимая часть, обозначается .

Действительная и мнимая части комплексного числа независимы, как, например, независимы координаты точки на плоскости или координаты вектора.

Комплексное число, которое не содержит мнимой части, называется действительным числом, а комплексное число, которое не содержит действительной части, называется чисто мнимым числом.

Для комплексных чисел определены операции сложения и вычитания, а также умножения и деления. Рассмотрим два комплексных числа и .

Сумма .

Сложение комплексных чисел выполняется как сложение векторов. Вычитание — аналогично.

Произведение можно вычислить как произведение двух скобок только с учетом того, что : .

Комплексные числа и называются комплексно-сопряженными. Произведение комплексно- сопряженных чисел является действительным числом.

Это свойство используют при делении комплексных чисел.

Пример 1. Выполнить деление .

Решение. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть : ,

теперь выполним умножение отдельно в числителе и отдельно в знаменателе и приведем подобные члены: .

Ответ: .

Проверить правильность деления можно умножением.

Свойства рассмотренных арифметических операций с комплексными числами такие же, как с действительными числами. Любое выражение, составленное из комплексных чисел с помощью этих операций можно преобразовывать по обычным алгебраическим правилам, учитывая, что .

Исключение: комплексные дроби нельзя приводить к общему знаменателю как действительные числа.

Задачи

1. Дано комплексное число .

а) Чему равны действительная и комплексная части этого числа?

 

2. Даны два комплексных числа , . Вычислите их сумму и разность.

3. Вычислите произведение:

а)	б)
в)	г)

 

4. Вычислите частное:

а)

б)

в)

г)

 

5. Вычислите:

а)	б)
в)	г)
д)	е)

 

6. Из условия равенства двух комплексных чисел найти действительные решения и следующих уравнений:

а)

б)

 

7. Найти комплексное число , такое, что:

а)

б)

 

8. Вычислите:

а)

б)

 

1234567Следующая ⇒

Date: 2015-07-02; view: 501; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...