Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Из числителя в знаменатель(и обратно)
Если в книжке указан ответ к задаче (3 + √7)/2, а у вас получилось 1/(3 – √7) — не спешите искать ошибку в решении: ответ правильный — эти числа равны, потому что (3 + √7)(3 – √7) = 32 – 7 = 2.
Вот несколько характерных примеров, где полезно перенести «иррациональность» из числителя в знаменатель или наоборот. 1. Найти сумму
Эта сумма мгновенно «сворачивается», если переписать её так: (√2 – 1) + (√3 – √2) +... + (√100 – √99) = –1 + 10 = 9.
По выражению из статьи [1] «остаются крайние» (см. также [5]).
2. Доказать, что для любых натуральных m и n
где α = √3 + √2. Подобный факт мы использовали недавно при решении трудной задачи М514 ([2]). В самом деле, всегда
поскольку число | m 2 – 2 n 2| — целое и отлично от 0 (равенство m 2 = 2 n 2 невозможно — подумайте, почему!). Если бы выполнялось неравенство, противоположное (1), то должно было бы быть m < n √2 + 1/α n и
Но из (2) и (3) следует (1). Значит, наше предположение неверно, то есть (1) выполнено. Неравенство (1) показывает, что число √2 сравнительно плохо приближается дробями с небольшими знаменателями; аналогичное неравенство (только с другим коэффициентом α) выполнено не только для √2, но и для любой «квадратичной иррациональности». Разумеется, (1) выполнено и при всех α > √3 + √2, но константа √3 + √2 здесь не наименьшая из возможных. Вопросы о приближениях квадратичных иррациональностсй рациональными числами — далеко продвинутая и важная для приложений область теории чисел ([3], [4]); с приближениями числа √2 мы ещё встретимся ниже (см. упражнение 4). [Если при решении этой задачи рассмотреть отдельно случаи n =1 и n ≠1, то можно показать, что
Оно лишь немного сильнее, чем неравенство (1), поскольку
зато выглядит гораздо эффектнее. Помню, как в мою бытность студентом, на лекциях по алгебре наш профессор говорил: «Корень из трёх — это, примерно, 1,73; корень из двух — 1,41. Поэтому их сумма равна... (следовала пауза, необходимая для сложения этих чисел "в столбик") 3,14. А это есть?..» (он поворачивался к аудитории и сразу несколько человек говорили "пи") «Ну, вот», — с удовлетворением заключал профессор, выписывая окончательное "равенство": √3 + √2 = π.:) — E.G.A. ]
3. Найдите предел последовательности an = (√ n ² + 1 – n) n. Преобразуем an так:
Теперь ясно, что an возрастает и стремится к пределу 1/2. В противоположность предыдущему примеру здесь мы имеем дело с хорошим приближением: √ n ² + 1 – n < 1/2 n.
4 (M532). Даны две последовательности an = √ n +1 + √ n и bn = √4 n +2. Докажите, что а) [ an ] = [ bn ], б) 0 < bn – an < 1/16 n √ n. В разности bn – an появляется «тройная иррациональность»; к таким иррациональностям мы ещё вернёмся (см. задачу 8), но пока мы будем рассматривать √ n +1 + √ n = an как одно целое. Заметим, что величина an 2=2 n +1+2√ n (n +1), очевидно, заключена между 4 n +1 и 4 n +2= bn 2, поскольку n < √ n (n +1) < n +1. Итак, мы уже получили an < bn — левое неравенство в б). Кроме того, число bn 2 = 4 n +2, дающее при делении на 4 в остатке 2, не может быть полным квадратом (проверьте!), поэтому квадрат целого числа [ bn ] не больше 4 n +1; из неравенств [ bn ] ≤ √4 n +1 < an < bn вытекает а). Теперь осталось оценить разность bn – an сверху. Посмотрите, как здесь дважды работает переброска «сопряжённого» числа в знаменатель:
(тут, конечно, нам повезло:
Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многими радикалами) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа — заменить переменную n на h = 1/ n и воспользоваться формулой Тейлора √1 + h = 1 + h /2 – h 2/8 +... (См. [6].)
|