Поочерёдно меняем все знаки

8 (М520). Пусть

(1 + √2 + √3) ⁿ = q_n + r_n √2 + s_n √3 + t_n √6,

где q_n, r_n, s_n и t_n — целые числа. Найти пределы

Конечно, мы здесь можем выразить (q_{n +1}; r_{n +1}; s_{n +1}; t_{n +1}) через (q_n; r_n; s_n; t_n), пользуясь тем, что

q_{n +1} + r_{n +1}√2 + s_{n +1}√3 + t_{n +1}√6 = (1 + √2 + √3)(q_n + r_n √2 + s_n √3 + t_n √6),

но, наученные опытом, мы уже знаем, что более простые формулы получаются не для самих чисел q_n, r_n, s_n, t_n, a для некоторых их комбинаций. Одну такую комбинацию мы уже знаем: это

q_n + r_n √2 + s_n √3 + t_n √6 = (1 + √2 + √3) ⁿ.

Нетрудно сообразить, каковы будут другие. Рассмотрим вместе с данным числом

λ₁ = 1 + √2 + √3,

ещё три «сопряжённых»:

λ₂ = 1 – √2 + √3,

λ₃ = 1 + √2 – √3,

λ₄ = 1 – √2 – √3.

Тогда

q_n – r_n √2 + s_n √3 – t_n √6 = λ₂ ⁿ,

q_n + r_n √2 – s_n √3 – t_n √6 = λ₃ ⁿ,

q_n – r_n √2 – s_n √3 + t_n √6 = λ₄ ⁿ.

Мы можем выразить q_n, r_n, s_n, t_n через λ₁, λ₂, λ₃, λ₄:

Теперь заметим, что λ₁ > |λ₂|, λ₁ > |λ₃|, λ₁ > |λ₄|. Поэтому

Аналогично найдём, что

Мы говорили выше, что сопряжённые числа a ± b √ d возникают часто как корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В связи с последней задачей возникает такое желание:

9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен 1 + √2 + √3.

Возникает подозрение, что вместе с этим числом λ₁ уравнению с целыми коэффициентами удовлетворяют и сопряжённые, которые в решении предыдущей задачи мы обозначили λ₂, λ₃, λ₄. Нужное уравнение можно записать так:

(x – λ₁)(x – λ₂)(x – λ₃)(x – λ₄) = 0;

то есть

(x – 1 – √2 – √3)(x – 1 + √2 – √3)×
(x – 1 – √2 + √3)(x – 1 + √2 + √3) = 0;

после преобразований получаем

((x – 1)² – 5 – 2√6)·((x – 1)² – 5 + 2√6) = 0,
(x ² – 2 x – 4)² – 24 = 0,
x ⁴ – 4 x ³ – 4 x ² – 16 x – 8 = 0.

Именно такое уравнение получилось бы в качестве характеристического, если бы мы применили упомянутую мелким шрифтом в конце предыдущего раздела общую теорию к исследованию линейного преобразования

(q_n; r_n; s_n; t_n) → (q_{n +1}; r_{n +1}; s_{n +1}; t_{n +1})

в предыдущей задаче. Заметим, кроме того, что мы на самом деле получили уравнение наименьшей степени (с целыми коэффициентами) с корнем λ₁ = 1 + √2 + √3. Попробуйте это доказать!