Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Упражнения. Докажите, что при всех положительных x √x² + 1 – x – 2x < 8x2 . 3. Постройте

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 22Следующая ⇒




 

1. Что больше: √1979 + √1980 или √1978 + √1981?
2.

Докажите, что при всех положительных x

  √ x ² + 1 – x – 2 x   < 8 x 2 .
3. Постройте график функции y = √ x ² – 1 и докажите, что при | x | ≥ 1
0 < | x | – √ x ² – 1 ≤ | x | .
4. В формуле √2 = 1 + 1/(√2 + 1) заменим √2, стоящий в знаменателе правой части, по той же формуле:
√2 = 1 +   .
  2 +    
  √2 + 1      
           

 

В этой формуле снова заменим нижний √2 на 1 + 1/(√2 + 1), и т.д. n раз. Если теперь нижний корень заменить на 1 или на 2, мы получим два рациональных числа pn, qn. Докажите, что √2 лежит между ними и lim pn = lim qn = √2. (Не встречались ли мы с этими числами в одной из задач?)
5. Докажите, что уравнения а) x 2 – 3 y 2 = 1, б) x 2 – 3 y 2 = 2 имеют бесконечное множество решений в целых числах.
6. Докажите, что функция y = ln (√ x ² + 1 + x) — нечётная, и постройте её график.
7. а) Докажите, что для любого натурального n
2(√ n + 1 – 1) < 1 + √2 + √3 +... + √ n < 2√ n – 1.

 

б) Докажите, что последовательность

Un = 1 + 4√2³ + 4√3³ +... + 4√ n ³ – 4·4√ n

 

убывает и стремится к пределу.
8. а) Докажите, что последовательность {(2 + √3) n } сходится, и найдите её предел. б) Каковы первые 100 десятичных знаков после запятой в записи числа (√50 + 7)100?
9.

Докажите, что для любого натурального d, не являющегося полным квадратом, найдётся такое α, что для любых m и n

  m n – √ d ≥ α n 2 .
10. Докажите, что при любом натуральном n число [(35 + √1157) n /2 n ] делится на 17, и вообще для любых натуральных k и n число [(2 k + 1 + √4 k ² + 1) n /2 n ] делится на k.
11.

Докажите, что для любого числа p >2 найдётся такое число β, что для каждого n справедлива формула (в левой части n вложенных радикалов)

     
√ 2 + √ 2 +... + √ 2 + √2 + p = β 1/2 n + β –1/2 n .
     
                   
12. Докажите, что последовательность bm = 1 + 17 m 2 содержит бесконечно много квадратов целых чисел.
13. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого (3 + √5)/4.
14.

Составьте уравнение 4-й степени с корнями ±√ p ± √ q и решите его, как биквадратное уравнение. Сравнивая ответ с данными корнями, докажите популярные формулы для двойных радикалов:

         
√ A ± √ B = √ A + √ A ² – B ± √ A – √ A ² – B (A 2 > B > 0, A > 0).
                 
15. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
а) 1 + √2 + √3 , б) √10 + √14 + √21 + √15 .
16. Лягушка может прыгнуть из каждой вершины правильного треугольника ABC в любую из двух других вершин. Найдите число an способов, которым она может совершить прогулку из n прыжков, начинающуюся и заканчивающуюся в вершине A. Докажите, что существует предел lim an +1/ an, и найдите его.

 

Список

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Date: 2015-07-02; view: 522; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...


mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию