Кеңістікте нүкте мен бағыттаушы векторы арқылы берілген түзудің теңдеуі

Кез келген түзу мен оған параллель (m, n, p) векторын алайық.. векторы түзудің бағыттаушы векторы деп аталады.

Түзу бойынан кез келген М₀(x₀, y₀, z₀) және M(x, y, z) нүктелерін аламыз..

z

M₁

M₀

0 y

x

Бұл нүктелердің радиус- векторларын и арқылы белгілейік, сонда - = .

и векторлары коллинеар болғандықтан, = t қатынасы орындалады, мұндағы t – кез келген параметр.

= t теңдіктен мынау шығады: - = t. Бұдан = + t (2).

Бұл теңдеуді түзудің кез келген нүктесінің координаталары қанағаттандыратындықтан, (2) теңдеу түзудің параметрлік теңдеуі болады.

Бұл векторлық теңдеу координаталық формада былайша жазылады:

Бұл жүйені түрлендіріп t параметрге теңестіру арқылы кеңістіктегі түзудің канондық (жабайы) теңдеуін аламыз:

.

Түзудің параметрлік теңдеуі канондық теңдеуден шығады. Айталық бізге түзудің канондық теңдеуі берілсін. (1). Осыны t параметрге теңестіреміз. Сонда:

=t, бұдан , немесе

Анықтама. Түзудің бағыттаушы косинустары деп векторының бағыттаушы косинустарын айтады және олар төмендегі формулалар бойынша анықталады:

; .

Бұдан мынаны аламыз: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

m, n, p сандары түзудің бұрыштық коэффициенттері деп аталады. - нөлдік емес вектор болғандықтан, m, n и p бір уақытта нөлге тең бола алмайды, алайда бұл сандардың біреу не екуі нөлге тең болуы мүмкін. Бұл жағдайда түзудің теңдеуінен сәйкес алымдарын нөлге теңестіруге тура келеді.