Эллипстің түрін оның жабайы теңдеуі бойынша зерттеу

(4) теңдеу бойынша эллипстің бірнеше қасиеттерін анықтайық..

Координата басына қарағанда симметриялы.

2) у=0 болса, болады, бұдан х = ± а. Сондықтан эллипс ох осін А₁(-а; 0) және А₂(а;0) нүктелерінде қияды. Ал х=0 болғанда шығады да, у=± в. Демек, эллипс оу осін В₁(0;-в), В₂(0; в) нүктелерінде қияды. Эллипстің осьтермен қиылысу нүктелері (А₁, А₂, В₁, В₂) төбелері деп аталады.

3) (4) теңдеуден . Бұдан |х| £ а және |у|£ в. Бұдан – а £ х £ а және –в £ у £ в. Сөйтіп, эллипстің нүктелері жазықтықтың қабырғалары 2а және 2в болатын тік төртбұрышпен шектелген бөлігінде жатады.

Теорема. Эллипстің кез келген М(х, у) нүктесі үшін төмендегі қатынас орындалады:

r₁ = a – x, r₂ = a + x.

Дәлелдеу. Жоғарыда r₁ + r₂ = 2a болатыны көрестілген. Сонымен қатар,геометьриялық кескіндеме бойынша:

. Осы формулалардағы у² –ты эллипстің канондық теңдеуінен тауып алып, алдыңғы формулаларға қойып түрлендірсек, төмендегі теңдік шығады:

Дәл осылайша r₂ = a + x.

Анықтама. x = a/ ; x= -a/ . теңдеулерімен анықталатын екі түзу эллипстің директрисалары деп аталады.

Теорема. Нүкте эллипсте жату үшін оның фокусқа дейінгі қашықтығының сәйкес директрисаға дейінгі қашықтығына қатынасы эксцентриситетке тең болуы қажетті және жеткілікті.

Мысал. теңдеуімен берілген эллипстің сол жақ фокусы мен төменгі төбесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін құр.

1) Эллипстің төменгі төбесінің координаталары: x = 0; y² = 16; y = -4.

2) Сол жақ фокусының координаталары: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).

3) Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі:

Мысал. F₁(0; 0), F₂(1; 1) фокустары мен үлкен осі 2 –ге тең болатын эллипстің теңдеуін жаз.

Эллипстің теңдеуі мынадай: . Мұнда а мен b жарты өстерін табу керек. Фокустарының ара қашықтығы:

2c = , сондықтан a² – b² = c² = ½

Есеп шарты бойынша 2а = 2, сонда а = 1, b =

Сонымен эллипстің теңдеуі: .