Примеры решения задач. З а д а ч а 7. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 200 мкФ и катушки индуктивностью 3 мГн
З а д а ч а 7. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 200 мкФ и катушки индуктивностью 3 мГн. Конденсатор зарядили количеством электричества 70 мкКл и замкнули на катушку. Найти зависимости от времени энергии электрического и магнитного полей и построить графики этих зависимостей в пределах половины периода колебаний заряда.
Дано:
Ф;
мГн;
Кл.
Найти и построить графики: и
| Решение.
Энергия электрического и магнитного полей определяется по формулам:
(53)
(54)
| где – заряд на пластинах конденсатора;
– сила тока, протекающего через катушку.
Так как контур идеальный, заряд совершает гармонические колебания:
(55)
где
– (56)
собственная частота колебаний в контуре;
– начальная фаза, определяемая из закона (51) при с: , откуда
(57)
Согласно условию задачи в момент начала колебаний заряженный конденсатор замкнули на катушку, поэтому заряд на пластинах не может быть больше начального. Таким образом, амплитуда колебаний заряда равна начальному заряду:
(58)
Подставив начальное условие (58) в формулу (57), получим:
(59)
Таким образом, законы (55) и (53) колебаний заряда и энергии электрического поля в контуре с учетом равенства (56) принимают вид:
(60)
(61)
Закон колебаний силы тока найдем, взяв производную по времени от правой части формулы (60):
(62)
поэтому зависимость энергии магнитного поля от времени (50) с учетом равенства (56) принимает вид:
(63)
Таблица 1
|
| мкДж
| мкДж
|
| мкДж
| мкДж
|
| мкДж
| мкДж
| Через полную энергию мкДж и период колебаний мс зависимости энергии от времени (61) и (63) представляются в виде: ; . Удобство этих формул заключается в значительном облегчении построения графиков и вычисления энергии при выборе значений времени , отвечающих экстремумам гармонических функций. Построим графики. Значения энергии в выбранные моменты времени в пределах половины периода колебаний заряда показаны в табл. 1. Графики зависимости энергии от времени изображены на рис. 4.

Рис. 4
Ответ: , ,
где мкДж;
мс.
З а д а ч а 8. В идеальном колебательном контуре с емкостью 6 мкФ заряд на обкладках конденсатора меняется по закону: где мкКл; Найти разность потенциалов (напряжение) на обкладках конденсатора спустя четверть периода колебаний.
Дано:
Ф;
Кл;
Найти:
| Решение.
Напряжение связано с зарядом соотношением: Подставляя в него закон колебаний заряда получим зависимость напряжения от времени:
(64)
| Выразив в формуле (64) собственную частоту колебаний через период получим:
(65)
Подставив в формулу (65) численные данные при найдем: В.
Ответ: , В.
З а д а ч а 9. В идеальном колебательном контуре с индуктивностью 100 мГн совершаются гармонические колебания с частотой 400 Гц. Найти емкость конденсатора и закон изменения силы тока в контуре, если в начальный момент времени сила тока была максимальной и равной 16 мА.
Дано:
Гн;
Гц;
А;
Найти:
| Решение.
Закон колебаний силы тока в идеальном колебательном контуре имеет вид:
, (66)
где
– (67)
| собственная частота;
– начальная фаза колебаний, которая определяется из закона (66) при с в соответствии с начальным условием :
(68)
Подставив выражения (67) и (68) в закон (66), получим зависимость силы тока в рассматриваемом контуре от времени:
. (69)
Емкость конденсатора найдем из выражения полученного подстановкой в соотношение (67) формулы для собственной частоты колебаний в контуре: Отсюда Ф.
Ответ: мА;
мкФ.
Date: 2015-06-11; view: 809; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: |
|
|