С фиксированной точкой

Диапазон представления чисел устанавливает границы между минимально и максимально допустимыми значениями, представляемыми в заданном формате и коде.

Динамический диапазон ДД определяют как:

ДД = max значение / min значение = 0,

где max значение и min значение = 0 представлены в заданном формате и коде.

Динамический диапазон ДД в децибелах равен

ДД (дБ) = 20 lg (ДД).

Точность представления чисел определяет максимально допустимую точность представления дробной части вещественных чисел.

Напомним, что в двоичной системе счисления при заданном формате целые числа (в том числе, целые части вещественных чисел) представляются точно, а дробные – приближено. Максимально допустимая ошибка при представлении дробных чисел равна:

2^-b-1 = 2^-(b+1) = 2^{-m _} половине младшего значащего бита (половине шага квантования) при округлении;

2^{-b _} младшему значащему биту (шагу квантования) при усечении,

где b – количество значащих битов; n = b ^_ 1; m – длина слова, в котором представляется число, например, для слова m = n, для двойного слова m = 2n.

Точность представления измеряется в битах и определяется как:

log ₂ (max значение / max ошибка при округлении),

где max значение соответствует:

для дробных чисел – максимальному (по модулю) значению, представленному в заданном формате и коде;

для смешанных чисел – максимальному (по модулю) значению дробной части числа, представленной в заданном формате и коде.

Определим диапазон, динамический диапазон и точность представления данных различных типов.

Данные целого типа.

· Целые числа со знаком.

Диапазон представления целых чисел со знаком в формате “слово” длиной n в дополнительном

коде равен:

^_ 2^b < C < 2^{b _} 1,

где C – значение целого числа.

Динамический диапазон ДД равен

ДД = ^_ 2^b / 1 = 2^b

Например, при длине слова 16 битов диапазон равен

^_2¹⁵ < C < 2^{15 _} 1,

а динамический диапазон

ДД = 2¹⁵;

или в децибелах

ДД (дБ) = 20 lg (2¹⁵) = 90, 3 дБ.

Аналогично можно определить диапазон представления и динамический диапазон для чисел в

формате “двойное слово” длиной 2n. Например, при длине двойного слова 32 бита диапазон

представления равен

^_2³¹ < C < 2^{31 _}1,

а динамический диапазон

ДД = 2³¹

или в децибелах

ДД (дБ) = 20 lg (2³¹) = 186, 6 дБ.

· Беззнаковые числа.

Диапазон представления целых беззнаковых чисел в формате слово длиной n в дополнительном коде

вдвое больший, чем для целых со знаком (знаковый бит включен в число значащих) и равен:

0 < C < 2^{n _} 1.

Данные вещественного типа.

· Дробные числа.

Диапазон представления дробных чисел не зависит от типа арифметики (целочисленная/ дробная).

В формате “слово” длиной n (формат Qb) в дополнительном коде диапазон равен

^_ 1 < C < 1 ^_2^-b,

где C—значение дробного числа.

Модуль дробного числа не превышает 1 независимо от длины формата.