Принцип максимума

Пример 5. Пусть необходимо определить характер оптималь­ного по быстродействию управления углом поворота вала двига­теля постоянного тока, описываемого уравнением:

,

где .

1. Обозначив у = х₁, переходим к уравнениям в нормальной форме:

и составляем гамильтониан .

2. Исследуем гамильтониан Н на максимум, т. е. находим и приравниваем к 0 производную . Отсюда , но такое решение тривиально и неприемлемо. Значит и оптимальное управление находится из формулы для Н так, чтобы он был наибольшим, т. е.

.

3.Составляем систему уравнений для вспомогательных функций:

Решение ее облегчается тем, что в эту систему не вошли функции . С точностью до постоянных интегрирования получим

,

что следует после нахождения корня соответствующего характе-
ристического уравнения. Следовательно, оптимальное управле-
ние определяется формулой

Функция в данном случае может изменить знак не более одного

Рис.13

раза. Соответственно оптимальное управление может иметь не более двух интервалов постоянства на уровнях ± U _m (рис. 13).

1.11. Теорема об п интервалах

Если объект управления описывается линейным дифференци­альным уравнением n-го порядка и соответствующее характеристическое уравнение А(s) = 0 имеет отрицательные вещественные или (и) нулевые кор­ни, то при ограничении на управление и минимизации критерия оптимальности в виде линейного функционала оптимальное уп­равление имеет вид кусочно-постоянной функции времени со зна­чениями ± U _m, причем количество интервалов постоянства этой функции не более п, что иллюстрирует пример п. 10.

Данная теорема не дает ответа на вопрос о знаке первого интервала и продолжительности интервалов, но эту информацию можно получить методом припасовывания.

Пример 6. Пусть необходимо определить количественно оптимальное управление и соответствующий ему оптимальный по быстродействию переходный процесс поворота вала двигателя постоянного тока. Для этого предварительно найдем корни харак­теристического уравнения объекта управления и запишем общее решение его дифференциального уравнения:

.

Знак первого интервала управляющего воздействия определя­ется граничными условиями, а именно - знаком у(Т). Примем следующие условия:

,

.

Это дает возможность записать общее решение уравнения объекта на каждом из интервалов постоянства управления (см. рис. 13):

,

.

В соответствии с методом припасовывания записываем систе­му уравнений для трех моментов времени. При этом используем формулы для функций и в их первых производных, которые должны сохранять в момент t ₁ непрерывность своего изменения, а в моменты t = 0 и t = t₂ = T удовлетворять граничным условиям:

Эти шесть уравнений содержат шесть неизвестных, а именно -
четыре постоянных интегрирования и два момента переключения
t ₁ и t ₂. В данном случае трансцендентное уравнение сводится к
квадратному и может быть решено в радикалах, в результате чего
получим:

Отсюда, в частности, видно, что разгон длится больше, чем
торможение.

Оптимальные по быстродействию процессы при ограничениях на управление и одну из производных регулируемой величины

Пример 7. Найти оптимальное по быстродействию управление двигателем постоянного тока при ограничениях на управление и на скорость двигателя.

Задано уравнение объекта управления

и ограничения , .

Так как порядок ограниченной производной k=1, то число
участков ее стабилизации равно 1, число участков перевода равно 2, число интервалов постоянства управления и на участках перевода n - k =1 (Рис.17).

Рис.17

На участке стабилизации . Подставляя эти значения в уравнение объекта, найдем оптимальное управление на этом участке . Это управление автоматически обеспечивается отрицательной обратной связью (ООС) по скорости типа отсечка. Показанным на рис. 17 временным диаграммам соответствует фазовая траектория, «урезанная» по вертикали (рис.18).

Рис. 18

Структурная схема оптимальной САУ представлена на рис. 19.

Рис.19

Автоматическое управляющее утройство (АУУ) будет иметь ту же структуру, что и на рис. 16.