Метод Эйлера-Лагранжа. (практикум, заочный факультет, 5 курс)

ОПТИМАЛЬНЫЕ И АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

(практикум, заочный факультет, 5 курс)

Практич. занятий – 10 час.

Задача на безусловный экстремум функционала

Пример 1. Найти экстремаль улучшенной квадратичной интегральной оценки

.

Находим и и составляем уравнение Эйлера

.

Ему соответствует характеристическое уравнение

.

Общее решение уравнения Эйлера в данном случае имеет вид:

,

где

Задавшись граничными условиями и , най­дем постоянные интегрирования с₁ = х_и, с₂=0. Тогда уравнени­ем экстремали будет экспонента

.

Задача на условный экстремум.

Метод Эйлера-Лагранжа

Пример2. Синтезировать автоматический регулятор, оптимальный по минимуму квадратичного критерия

.

Объект описывается дифференциальным уравнением при краевых условиях х(0) = х_н, = 0.

Записав предварительно уравнение ограничения в стандартном виде

,

составляем подынтегральную функцию нового функционала:

.

Записываем систему уравнений Эйлера для искомых экстрема­лей и :

Из последнего уравнения выражаем и, подставляя в
предыдущее, получим

. (3)

Теперь решаем уравнение (3) совместно с уравнением объекта. Для этого находим корни характеристического уравнения:

, откуда .

Тогда общее решение будет иметь вид:

где из граничных условий где с₁ = х_н, с₂ = 0.

Получаемую отсюда экстремаль подставляем в
уравнение объекта и находим . Затем можно исключить время и получить уравнение регулятора в виде:

В результате получен пропорциональный алгоритм оптимального регулятора с коэффициентом передачи - 0,41, что дает возможность представить структурную схему оптимальной САУ (рис. 5).

Рис. 5.